Медиана в правоъгълен триъгълник

[Фати00]

Дължините на медианите към катетите на правоъгълен триъгълника са 5 и 2[tex]\sqrt{10}[/tex]. Дължината на хипотенузата на триъгълника е?

[peyo]

Имаме системата:

[tex]\begin{array}{|l} a^2 + (b/2)^2 = 5^2 \\
b^2 + (a/2)^2 = (2\sqrt{10})^2 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a^2 + b^2 / 4 = 25 \\
b^2 + а^2/4 = 40 \end{array}[/tex]

$a^2 = 25 - b^2 / 4$

Заместваме в 2:
$4b^2 + 25 - b^2 / 4 = 160$

$b^2(4 -1 / 4) = 160 - 25$


$b^2 = 4*135/15 = 36$

$a^2 = 25 - 36/ 4 = 16$

Тогава:
$c = \sqrt {a^2 + b^2} = \sqrt {36 + 16} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} = 7.211102550927978 $

[ptj]

Браво, решение на 10 реда за нещо, което става с един.

След като си написал системата - толкова ли е трудно да видиш симетрията и да събереш двете уравнения.

[tex]c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4}{5}(5^2+(2\sqrt{10})^2)}=2\sqrt{13}[/tex]

[Davids]

Браво, решение на 10 реда за нещо, което става с един.

След като си написал системата - толкова ли е трудно да видиш симетрията и да събереш двете уравнения.

[tex]c^2=a^2+b^2=\frac{5}{4}(5^2+(2\sqrt{10})^2)=\frac{5\sqrt{65}}{4}[/tex]

Принципно не обичам да се карам с хората, също подкрепям изчистените решения без много много детайли и увъртане, но нека смекчим тона... а и като ще е на един ред, поне да е верен.
И двата подхода са верни, „по-прав“ няма, разликата е само, наистина, в изтънчеността и опита...
Нека отбележим, че $\frac{5}{4}(a^2 + b^2) = 65 \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 = \frac{4}{5}.65 = 52$
$\Rightarrow c = 2\sqrt{13} \approx 7.211$

[ptj]

Споко, коригирах се.

П.П. Като виждаш техническа грешка - може да изчакаш 2минути...

[Davids]

Споко, коригирах се.

П.П. Като виждаш техническа грешка - може да изчакаш 2минути...

Отново, без да искам да се карам, но „който нож вади, от нож умира“ - доста мъдра поговорка. Цялата идея на поста горе не беше да поправям грешката ти, а по-скоро да изряза открито недоволството си от маниера на правене на забележки. Може да бъде поднесено по-цивилизовано, по-умерено и (за мен най-важно) по-добронамерено. А може и просто на мен така да ми звучи, но смятам, че изказвания като

Браво, решение на 10 реда за нещо, което става с един.

просто могат да минат и без хапливата нотка... Ненужно и неуместно е в контекста на отзивчивостта, която все пак е демонстрирал колегата отгоре. Почва за нападки няма.

Айде сега да спирам вече с форумните разпри и да бягам, че работа има за вършене

[peyo]

Докато pti сигурно можеше да е по-малко хаплив (въпрос на вкус, но нищо лошо), аз лично приветствам критиката към решенията във форума. Образуват се интересни дискусии и нови решения така, което прави нещата по-забавни.

В случая по-краткото решение доколкото разбирам също стъпва на системата уравнения и само я решава по-бързо, което не е кой знае колко различно. Щеше ми се някой да предложи геометрично решение с линия и пергел може би.

[peyo]

Ok, намерих и смешно геометрично решение с построяване използвайки desmos:
https://www.desmos.com/geometry/vfwxetas8g

desm1med1 (2).png (19.14 KiB) Прегледано 600 пъти

Получих го като дърпам точките А и B докато станат точно медианите 5 и 6.32 и тогава АB дава отговора.

[Фати00]

Хубаво е, че има различни гледни точки и благодаря! Все пак не се знае човекът отсреща кое точно ще му се стори по лесно за разбиране.