Уравнение от четвърта степен

[KOPMOPAH]

$x^4-4x^3+x^2+4x+1=0$

[S.B.]

$x^4-4x^3+x^2+4x+1=0$

Очевидно $x = 0$ не е корен.Деля двете страни на $x^{2}$ и получавам:
[tex]x^{2} - 4x + 1 + \frac{4}{x } + \frac{1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 4(x - \frac{1}{x}) + 1 = 0 (*)[/tex]
Полагам [tex]x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t \Leftrightarrow (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = t \Rightarrow (x + \frac{1}{x})^{2} = t + 2[/tex]
Преработвам $x - \frac{1}{x}$ :
$(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = t - 2 \Rightarrow x - \frac{1}{x} = \sqrt{t - 2}$
Замествам в $(*)$ и получавам:
$t - 4\sqrt{t - 2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt{t - 2} = t + 1$ ; Д.М. $t\ge 2$
$16(t - 2) = t^{2} + 2t + 1 \Leftrightarrow t^{2} - 14t + 33 = 0 ,D = 64 , t_{1 } = 11\in $ Д.М. и $t_{2 } = 3\in$ Д.М.
Връщам субституцията и получавам:
$(x + \frac{1}{x})^{2} = 13$ и $(x + \frac{1}{x})^{2} = 5$
1)$ (x + \frac{1}{x})^{2} = 13 \Leftrightarrow x^{4} - 11x^{2} + 1 = 0$
Полагам $x^{2} = y>0$ и получавам $y^{2} - 11y + 1 = 0 , D = 117 ,y_{1,2 } = \frac{11 \pm \sqrt{117}}{2}$
$$ \Rightarrow x_{1 ,2} = \pm\sqrt{\frac{11 \pm\sqrt{117}}{2}}$$
2)$(x + \frac{1}{x})^{2} = 5 \Leftrightarrow x^{4} - 3x^{2} + 1 = 0$
Полагам $x^{2} = y >0$ и получавам $x^{2} - 3x + 1 = 0 , D = 5 , y_{1,2 } = \frac{3 \pm\sqrt{5}}{2}$ $$\Rightarrow x_{3,4 } = \pm\sqrt{\frac{3 \pm\sqrt{5}}{2}}$$

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплескала сметките!Идеята е ясна - това е възвратно уравнение

[pal702004]

Да, уравнението е възвратно. След

$(x^2+\dfrac{1}{x^2})-4(x-\dfrac 1 x)+1=0$

доброто полагане е $t=x-\frac 1 x$, откъдето $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2+2$

Получава се квадратно ур-ие от $t$ с цели коефициенти, че и с цели корени. Нататък е ясно.

Отговорите ти са верни, но могат да се запишат в по-чист вид - без вложени радикали:

$x_{1,2}=\dfrac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

$x_{3,4}=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Отговорите ти са верни

Е не всички де, при теб се получават 8.

[pal702004]

Друг начин (по-общ) е с метода на неопределените коефициенти да се разложи на множители

$(x^2-3x-1)(x^2-x-1)=0$