Неравенство от 18-та степен

[KOPMOPAH]

$x^{18} -x^{13} +x^{10} -x^7+x^2-x+1>0$

[Михаил05]

ЛСУ - лява страна на уравнението
ДСУ - дясна страна на уравнението
[tex]x^{18}[/tex] + [tex]x^{10}[/tex] + [tex]x^{2}[/tex] + 1 > [tex]x^{13}[/tex] + [tex]x^{7}[/tex] + [tex]x[/tex]
1. При [tex]x[/tex] < 0 , ЛСУ > 0 , ДСУ < 0 [tex]\Rightarrow[/tex] ЛСУ > ДСУ
2. При [tex]x[/tex] = 0 , ЛСУ = 1 , ДСУ = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] ЛСУ > ДСУ
3. При [tex]x[/tex] > 0 :
3.1. При [tex]x[/tex] > 1 , [tex]x^{18}[/tex] > [tex]x^{13}[/tex] , [tex]x^{10}[/tex] > [tex]x^{7}[/tex] , [tex]x^{2}[/tex] > [tex]x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex] ЛСУ > ДСУ
3.2. При [tex]x[/tex] = 1 , ЛСУ = 4 , ДСУ = 3 [tex]\Rightarrow[/tex] ЛСУ > ДСУ
3.3 При [tex]x[/tex] < 1 :
Нека положим [tex]x[/tex] = [tex]\frac{1}{k}[/tex] , където k > 0.
Тогава ЛСУ = [tex]k^{-18}[/tex] + [tex]k^{-10}[/tex] + [tex]k^{-2}[/tex] + 1 =
= 1 + [tex]\frac{ k^{16} + k^{8} + 1}{k^{18}}[/tex] > 1 ,
ДСУ = [tex]k^{-13}[/tex] + [tex]k^{-7}[/tex] + [tex]k^{-1}[/tex] = [tex]\frac{k^{12} + k^{6} + 1}{k^{13}}[/tex] < 1
ЛСУ > ДСУ

[S.B.]

$x^{18} -x^{13} +x^{10} -x^7+x^2-x+1>0$

Групирам по следният начин:

[tex](x^{18} - x^{13}) + (x^{10} - x^{7}) + (x^{2} - x + 1) >0[/tex]

$x^{18} - x^{13} \ge0 $ за $\forall x\in (- \infty ; + \infty)$


$x^{10} - x^{7} \ge 0 $ за$ \forall x \in (-\infty ;+\infty)$

Но $x^{2} - x + 1 > 0$ винаги за $\forall x \in (-\infty; +\infty)$ защото $ D < 0 $ и коефициента пред втората степен е положителен

Следователно отговорът е:$$\forall x \in (-\infty ; +\infty)$$

[S.B.]

$x^{18} -x^{13} +x^{10} -x^7+x^2-x+1>0$

Групирам по следният начин:

[tex](x^{18} - x^{13}) + (x^{10} - x^{7}) + (x^{2} - x + 1) >0[/tex]

$x^{18} - x^{13} \ge0 $ за $\forall x\in (- \infty ; + \infty)$


$x^{10} - x^{7} \ge 0 $ за$ \forall x \in (-\infty ;+\infty)$

Но $x^{2} - x + 1 > 0$ винаги за $\forall x \in (-\infty; +\infty)$ защото $ D < 0 $ и коефициента пред втората степен е положителен

Следователно отговорът е:$$\forall x \in (-\infty ; +\infty)$$

______________________________________
Имам грешки и се отказвам на този етап от мнението си!

[pal702004]

При $x\le 0,\;f(x)\ge 1$
При $x\ge 1,\; f(x) \ge 1$
При $x\in (0;1)$

$f(x)=(1-x)+x^2(1-x^5)+x^{10}(1-x^3)+x^{18}$

[pal702004]

$\frac{k^{12} + k^{6} + 1}{k^{13}}< 1$

Това не е вярно за всички $k>1$ Самия факт, че при $k=1$ лявата страна е 3 говори сам по себе си.

[Sup3rlum]

$x^{18}-x^{13}+x^{10}-x^7+x^2+1 > 0$

$x^{18}+x^{10}+x^2+1 > x^{13} +x^7+x$

За $x=0$ неравенството важи $1 > 0$.

За $x<0$ лявата страна а винаги положителни заради четните степени а дясната страна винаги отрицателна заради нечетните степени.

За $x>0$

$1 > \frac{x^{13}+x^7+x}{x^{18}+x^{10}+x^2+1}$

Водещата степен в знаменателя е по-висока от тази в числителя и всички коефиценти са положителни, следователно неравенството важи и за този интервал.

Като съберем всички интервали - $x \in \R$

[pal702004]

За $x>0$

$1 > \frac{x^{13}+x^7+x}{x^{18}+x^{10}+x^2+1}$

Водещата степен в знаменателя е по-висока от тази в числителя и всички коефиценти са положителни, следователно неравенството важи и за този интервал.

Сериозно?