Логаритмично неравенство с показателна функция

[KOPMOPAH]

$$\Big(1-\frac x2\Big)\operatorname{log}_{13-3\cdot 2^x}4\le 1$$
Отговорът е скрит под спойлера

Скрит текст: покажи

$x \in \Big[\operatorname{log}_2 \frac 13;2)\cup (2;\operatorname{log}_2 \frac {13}3\Big] $

[Sup3rlum]

$\bigg(1-\frac{x}{2}\bigg)\frac{log_2(4)}{log_2(13-3.2^x)}\le 1$

Умножаваме двете страни по $log_2(13-3.2^x)$

Сл. 1:

$13-3.2^x>1 \Rightarrow 12>3.2^x \Rightarrow 4>2^x \Rightarrow x < 2$


$2-x\le log_2(13-3.2^x)$
$2^{2-x}\le13-3.2^x$

Замествам $2^x=p$

$4p^{-1}\le 13 - 3p$

Умножаваме двете страни по $p > 0$

$4\le 13p-3p^2$
$3p^2-13p+4\le0$

$p \in [\frac{1}{3};4)$
$\Rightarrow x \in [log_2\frac{1}{3};2)$

Затворената горна граница е защото вече споменахме, че $x<2$

Сл.2

$13-3.2^x<1 \Rightarrow x > 2$
$13-3.2^x\ge0 \Rightarrow 13\ge3.2^x \Rightarrow 2^x\le\frac{13}{3} \Rightarrow x \le log_2\frac{13}{3}$

Получаваме аналогично:

$3p^2-13p+4 \ge 0$

Където $p \in [4; +\infty) \Rightarrow x \in [2; +\infty)$

И окунчателният интервал е $\boxed{x \in \bigg[log_2\frac{1}{3};2\bigg)\cup\bigg(2;log_2\frac{13}{3}\bigg]}$