УАСГ - 1994

[worstboy]

Даден е прав кръгов конус диаметър 2R и височина R.В конуса е вписана правилна триъгълна призма, така че единият и околен ръб лъжи върху основата на конуса, а срещуположната на този ръб стена има върхове върху околната повърхнина на конуса е и успоредна на основата му.Намерете максималния обем на призмата

Дано някой даде решение да тази задачка

[ganka simeonova]

Значи, аз получих един що- годе "приличен отговор" [tex]V_{max}=\frac{4R^3}{27 }[/tex].
Имаш ли отг на задачата?

[b1ck0]

Тъй като височината на призмата си е [tex]idem = 2R[/tex], то обема на призмата ще зависи изцяло от лицето на основата.
Ето така изглежда конуса в разрез:
Задачата се свежда до намиране на максималното лице на триъгълника [tex]A'B'O[/tex]
Като имаме в предвид че: [tex]\frac{A'B'}{AB} = \frac{HC}{R}[/tex], можем да запишем формула за лицето му:

[tex]S = \frac{A'B'.OH}{2} \Right S = \frac{\frac{AB.HC}{R}.\left(R-HC\right)}{2} \Right S = \frac{\frac{2R.HC}{R}.\left(R-HC\right)}{2} \Right S = \frac{2HC.R.\left(R-HC\right)}{2}[/tex]
[tex]S = HC.R.\left( R-HC \right) \Right S = HC.R^{2} - HC^{2}.R[/tex], полагаме [tex]HC = x[/tex]
[tex]S = x^2.R - R^{2}.x[/tex], и сега остава да намерим максимума на тази функция:
[tex]S' = 2.x.R - R^2[/tex]
[tex]2.x.R - R^{2} = 0 \Right 2.x = R \Right x = \frac{R}{2}[/tex], тоест максималното лице е когато [tex]H[/tex] е среда на [tex]OC[/tex]
Тогава лицето на триъгълника [tex]S_{A'B'O} = \frac{AB.OH}{2} \Right S_{A'B'O} = \frac{R.\frac{R}{2}}{2} = \frac{R^{2}}{4}[/tex]
Респективно за обема на призмата получаваме: [tex]V_{MAX} = S_{A'B'O}.2R \Right V_{MAX} = \frac{R^{2}}{4}.2R = \frac{R^{3}}{2}[/tex]

[ganka simeonova]

Нещо, яко си се оплескал с условието и чертежа:)

[b1ck0]

И къде точно ?

П.С: Е сам се сетих къде ... височината на призмата не е [tex]2R[/tex], a e [tex]R[/tex] и тогава максимания обем се получава [tex]\frac{R^3}{4}[/tex]

[worstboy]

Значи, аз получих един що- годе "приличен отговор" [tex]V_{max}=\frac{4R^3}{27 }[/tex].
Имаш ли отг на задачата?

наистина отговора е приличен, но най-лошото е, че нямам отговор, a пък задачата е интересна.Ще може ли да напишете вашето решение

[ganka simeonova]

С удоволствие, но не сега. Утре, може би. Сега си преживявам радостта със 7-класниците:)
Излязоха резултатите. А и се чудя как с карметала да начертая проклетия конус.
Но, обещавам, че ще я имаш

[worstboy]

С удоволствие, но не сега. Утре, може би. Сега си преживявам радостта със 7-класниците:)
Излязоха резултатите. А и се чудя как с карметала да начертая проклетия конус.
Но, обещавам, че ще я имаш

много съм благодарен, за което

[ganka simeonova]

Предварително се извинявам за чертежа. Сечението на конус с равнина, успоредна на основата е окръжност. И понеже върховете на околната стена АBB1A1 са точки от тази околна п-на, то правоъгълникът ABB1A1 е вписан в окръжността.
Нека означим [tex]AB=AC=BC=a; BB_1=CC_1=l=>OO_1=\frac{a\sqrt{3} }{2 }[/tex]
OO1 е равна на височината в равностранния триъгълник АВС. Тогава диаметърът на малката окр.е равен на [tex]\sqrt{a^2+l^2}[/tex]; [tex]MO_1=R-\frac{a\sqrt{3} }{2 }[/tex]
Oт подобните триъгълници [tex]\Delta PFM; \Delta LKM=>\frac{PF}{ LK} =\frac{MO_1}{MO } =>[/tex]
[tex]\sqrt{a^2+l^2} =2R-a\sqrt{3} =>a^2+l^2=(2R-a\sqrt{3} )^2[/tex]
Oт нер. м/у СА- СГ=>[tex]al\le \frac{a^2+l^2}{ 2}[/tex]
[tex]V=\frac{\sqrt{3} }{4 } a^2l=\frac{\sqrt{3} }{4 } a.al\le \frac{\sqrt{3} }{8 } a(a^2+l^2)=\frac{\sqrt{3} }{8}a(2R-a\sqrt{3} )^2 =\frac{\sqrt{3} }{ 8} ( 3a^3-4\sqrt{3} Ra^2+4R^2a)[/tex]

Да разгледаме ф-та [tex]f(a)=3a^3-4\sqrt{3} Ra^2+4R^2a[/tex]; [tex]a\in(0; \frac{2R}{ \sqrt{3} })[/tex]
В разглежадния интервал тя има НГС, която се получава за [tex]a=\frac{2\sqrt{3} }{ 9}R[/tex] и за нея ще имаме най- голям обем.
Остава да намериш и ок.ръб l и да заместиш в обема.

[b1ck0]

Ако правилно съм разбрал ....
[tex]a=\frac{2 sqrt{3} }{9}[/tex]

[tex]a^2+l^2 = (2R-a sqrt{3})^{2} \Right l = \frac{2}{9} sqrt{81R^2 - 54R +6}[/tex]

[tex]V = \frac{ sqrt{3} }{4} .a^2.l \Right V = \frac{2}{243} sqrt{3}. sqrt{81R^2 -54R +6}[/tex]

[ganka simeonova]

Сори, бях пропуснала при изразяването на а, да умножа по R. Поправих го.

[b1ck0]

Toгава ....
[tex]a=\frac{2 sqrt{3} }{9}R[/tex]

[tex]a^2+l^2 = (2R-a sqrt{3})^{2} \Right l = \frac{2}{9} sqrt{33}.R[/tex]

[tex]V = \frac{ sqrt{3} }{4} .a^2.l \Right V = \frac{2}{243} sqrt{3}. R^3 sqrt{33}[/tex]

[ganka simeonova]

Toгава ....
[tex]a=\frac{2 sqrt{3} }{9}R[/tex]

[tex]a^2+l^2 = (2R-a sqrt{3})^{2} \Right l = \frac{2}{9} sqrt{33}.R[/tex]

[tex]V = \frac{ sqrt{3} }{4} .a^2.l \Right V = \frac{2}{243} sqrt{3}. R^3 sqrt{33}[/tex]

Опасявам се, че не можеш да смяташ!

[b1ck0]

Смятал съм го на Maple ....

[allier]

Каквото и да се смята, трябва да излезе a=l, защото се използва СА–СГ. Ако не излезе това, значи първоначалната оценка и неравенството са несъвместими ...

[b1ck0]

В моето решение се получава, независимо че съм се заблудил ужасно много в чертежа и там каквото беше ...

[allier]

Ако някой ми обясни какво е правилна триъгълна призма , ще я сметна задачата и аз, за да сверим отговорите.

[MasterZ]

Основите са еднакви успоредни равностранни триъгълници а околните стени еднакви правоъгълници (перпендикулиарни на 2те основи).