за кандидатстващи

[антонийо]

Да се намерят стойностите на реалния параметър m, за които уравнението sin^{2}x+ m|sin2x| + 1 = 0
има решение.

[Knowledge Greedy]

След понижаване на степента на синуса, получаваме уравнение от вида
[tex]Asin2x+Bcos2x=3[/tex]
Единствената възможност това уравнение да има решение се осигурява от условието [tex]A^2+B^2\le 9[/tex],
т.е.
едновременно [tex]\frac{A}{3}[/tex] и [tex]\frac{B}{3}[/tex] да са косинус и синус на един и същ ъгъл. [tex](\ast)[/tex]
Така намираме
[tex]- \sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}[/tex]
____________
[tex](\ast)[/tex] Ако този ъгъл е [tex]\varphi[/tex], уравнението добива вида [tex]sin(2x+\varphi)=\frac{3}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]

[pal702004]

При $m=0$ уравнението очевидно няма реални корени.

Аз получавам $m\in (-\infty;-\sqrt 2]$

с помощта на квадратно уравнение относително $|ctg(x)|$

[Knowledge Greedy]

Да, [tex]m=0[/tex] е особен случай и принципно трябва да се разгледа отделно. Съществената грешка бе в решаването на ирационалното неравенство за m.

Но на практика след като горното упътване разширим така:
Решаваме системите
[tex]\begin{array}{|l} 2m sin2x - cos2x = -3 \\ sin2x \ge 0 \end{array}[/tex]
и
[tex]\begin{array}{|l} 2m sin2x + cos2x = 3 \\ sin2x< 0 \end{array}[/tex]

Независимо от коя от системите, НДУ уравнението да има решение следва от означеното със [tex](\ast)[/tex] в предишния ми пост.
[tex]sin(2x\pm \varphi)=\frac{3}{\sqrt{4m^2+1}}\le 1[/tex]

Но последното е равносилно на [tex]m^2\ge 2 \Leftrightarrow m\in (-\infty;-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2};+\infty)[/tex]

___________
Поради периодичността на функцията [tex]sin2x[/tex] решения ще се намерят и за единия, и за другия интервали, в които обитава [tex]m[/tex].
___________
Що се отнася до идеята на pal702004, тя е превъзходна: - след заместване [tex]sin2x=2sinxcosx[/tex] и
[tex]1=sin^2x+c0s^2x[/tex], се получава хомогенно уравнение спрямо [tex]sinx[/tex] и [tex]cosx[/tex]

[tex]2sin^2x+2m\left |sinx cosx \right |+cos^2x=0[/tex]

Оттук се вижда, че при [tex]m\ge0[/tex] уравнението няма как да има реални решения.
А след полагането [tex]t=\left |tgx \right |[/tex] (респективно с котангенс), полученото квадратно уравнение
[tex]2t^2+2mt+1=0[/tex]
има дискриминанта
[tex]D=m^2-2[/tex]
и тогава [tex]m \in (-\infty ; - \sqrt{2} ][/tex]

___________
Оказа се, че имам още една съществена грешка, този път - във втория ми пост.

[pal702004]

дубъл