Конкурс за икономическите вузове 1986 г.

[S.B.]

Даден е квадрат $ABCD$ с дължина на страната $1$ и точка $M$ върху отсечката $CD$.

а) Да се докаже, че :
$cotg\varphi = x^{2} - x + 1$ , където $x = CM ,\varphi = \angle AMB$ ;

б) Да се определят онези положения на $M$ върху отсечката $CD$, при които $\angle AMB$ е съответно най-малък и най-голям.

[KOPMOPAH]

Конкурс за икономическите вузове 1986 г..png (7.56 KiB) Прегледано 527 пъти

Една приятна задача, която ни връща във времената, когато кандидатстващите (даже и) в икономическите вузове знаеха какво е котангенс и можеха да намерят производна от аркускотангенс на сложна функция. Добро впечатление прави и фактът, че страната на квадрата е $1$, без да се уточнява мерната единица - нещо недостижимо за сегашните ученици, за които отсечките почти винаги биват давани в сантиметри.

След това лирично отклонение да преминем към задачата.

$$AM=\sqrt{(1-x)^2+1},~BM=\sqrt{x^2+1}$$
$$S_{ABM}=\frac 12.1.1=\frac 12 AM.BM.\sin \varphi \Rightarrow AM.BM=\frac 1{\sin \varphi}$$
По косинусова теорема за $\triangle ABM$ имаме $$1=AM^2+BM^2-2AM.BM.\cos \varphi \\ 1=(1-x)^2+1+x^2+1-2.\frac 1{\sin \varphi}.\cos \varphi \\ 1=1-2x+x^2+1+x^2+1-2\cotg \varphi$$откъдето след преработка получаваме отговора на подусловие а).

За да се реши подусловие б) трябва да се изследва функцията $$\varphi=\operatorname{arccotg} (x^2-x+1) \\ \varphi '= -\frac 1{(x^2-x+1)^2+1}(2x-1)$$
Последната функция е намаляваща в целия интервал $[0;1]$, следователно максимум на ъгъла имаме при $x= \frac 12$, а минимум - в крайните точки,
т.е. когато т.$M$ съвпадне с т.$C$ или т.$D$

Скрит текст: покажи

На изпита бих имал достатъчно време да го посветя на изследването на функцията в най-големи детайли, тук само скицирам

[S.B.]

След прекрасното решение дадено от нашият уважаван колега KOPMOPAH ,(макар и малко трудно ) ще си позволя да представя още един поглед върху решаването на подусловие б):

От подусловие а) имаме :
[tex]cotg\varphi = x^{2} - x + 1[/tex]
Нека $cotg\varphi = f(x) = x^{2} - x + 1$ ,където $x \in [0 ; 1]$ и $\varphi\in (0 ; 90^\circ)$
$f'(x) = 2x - 1 = 0 $ за $ x = \frac{1}{2}$ , $f"(x) = 2> 0 \Rightarrow $ за $x = \frac{1}{2} ,f(x) $ има минимум ,$f_{min } = \frac{3}{4}$
Но $f(x) = cotg\varphi$ , която е намаляваща функция за $\varphi \in (0^\circ ; 90^\circ) $ и $cotg\varphi_{min } = \frac{3}{4}$ което означава,че най-малката си стойност функцията ще получи за най-голямия аргумент (в случая $\angle \varphi$)
за това при $x = \frac{1}{2}$ ще имаме най голямия ъгъл $\varphi$
В краищата на интервала $[0 ; 1]$ получаваме:
$f(0) = 1>f_{min } = \frac{3}{4} ,f(1) = 1 > f_{min } = \frac{3}{4}$ следва,че за $x = 0 $ и за $x = 1$ ще се получат най - малките ъгли -
$cotg\varphi = 1 \Rightarrow \varphi = 45^\circ$