Конкурс УНСС 1997 г.

[S.B.]

В прав кръгов конус са разположени две еднакви сфери с радиуси равни на единица.Центровете на сферите лежат върху оста на конуса.Едната от сферите се допира до околлната повърхнина на конуса,а другата до основата на конуса и до първата сфера.Намерете мярката на ъгъла между образувателната на конуса и основата му,при която обемът на конуса е най-малък.

[Davids]

Реално задачата се свежда до решаване на триъгълника, получен от половината осево сечение на конуса. На чертежа $O_1$ и $O_2$ са центровете респективно на долната и горната сфери, където $O_2P$ е радиуса към образувателната на конуса.

Intersection.png (11.52 KiB) Прегледано 719 пъти

Започваме с това, че обемът на конуса е равен на $V = \frac{\pi}{3}r^2h$, следователно търсим за кой ъгъл $\angle OBH = \varphi$ достигаме най-малката стойност на израза $A = r^2h$.

От подобието на $\triangle O_2PH \sim \triangle BOH$ получаваме:
$\frac{h-3}{l} = \frac{1}{r} \Rightarrow l = r(h - 3)$.

Паралелно с това по питагорова теорема за целия голям триъгълник имаме:
$l^2 = r^2 + h^2$
$\Rightarrow r^2(h-3)^2 = r^2 + h^2$
$\Rightarrow r^2 = \frac{h^2}{h^2 - 6h + 8}$
$\Rightarrow A = r^2h = \frac{h^3}{h^2 - 6h + 8}$

и също $tg\varphi = \frac{h}{r} = \sqrt{h^2 - 6h + 8}$, където е важно да отбележим, че $h \notin (2; 4)$

Следователно остава да намерим минимума на функцията $A = f(h) = \frac{h^3}{h^2 - 6h + 8}$ в дефиниционното множество $h \in (0; 2) \cup (4; +\infty)$

Взимаме първа производна:
$f'(h) = \frac{3h^2(h^2 - 6h + 8) - h^3(2h - 6)}{(h^2 - 6h + 8)^2} = \frac{h^2(h^2 - 12h + 24)}{(h^2 - 6h + 8)^2}$

Локален минимум се достига за $h = 6 + 2\sqrt{3}$, при което нашият ъгъл е равен на $\varphi = arctan(2\sqrt{5 + 3\sqrt{3}})$. Най-вероятно нещо съм объркал, проверявах сметките неколкократно, но все това получавам... xD

[KOPMOPAH]

...решаване на триъгълникът...

...светът вече не е същият...

Скрит текст: покажи

Или поговорката във варианта Quod licet bovi, non licet Iovi!
Нямаш право на неграмотност!

[Davids]

...решаване на триъгълникът...

...светът вече не е същият...

Скрит текст: покажи

Или поговорката във варианта Quod licet bovi, non licet Iovi!
Нямаш право на неграмотност!

В своя защита ще заявя, че изречението в оригиналния си вид включваше триъгълникА като подлог, но след преформулировката ми се е изплъзнало да направя тази тънка корекция! Все пак се признавам за виновен

[S.B.]

Локален минимум се достига за $h = 6 + 2\sqrt{3}$, при което нашият ъгъл е равен на $\varphi = arctan(2\sqrt{5 + 3\sqrt{3}})$. Най-вероятно нещо съм объркал, проверявах сметките неколкократно, но все това получавам... xD

Отговорът е:"Обемът на конуса е най-малък при [tex]cos\varphi = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}[/tex]"

Скрит текст: покажи

Опитах се от твоя отговор да получа $ cos\varphi$, но нещо не се получава.

[Davids]

Отговорът е:"Обемът на конуса е най-малък при [tex]cos\varphi = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}[/tex]"

Скрит текст: покажи

Опитах се от твоя отговор да получа $ cos\varphi$, но нещо не се получава.

При $cos\varphi = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}$ имаме $sin\varphi = \frac{\sqrt{9 - (2\sqrt{3} - 3)^2}}{3} = \frac{2\sqrt{3\sqrt{3} - 3}}{3}$
$\Rightarrow tg\varphi = \frac{2\sqrt{3\sqrt{3} - 3}}{2\sqrt{3} - 3} = \frac{2\cancel{\sqrt{3}}\sqrt{\sqrt{3} - 1}}{\cancel{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})} = 2(2 + \sqrt{3})\sqrt{\sqrt{3} - 1} = 2\sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)} = 2\sqrt{7\sqrt{3} - 7 + 12 - 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{5 + 3\sqrt{3}}$

Оттам нататък вече ясно

[S.B.]

Браво!

[Евва]

Корморан,защо не посочи и правописната грешка на S.B. ?

Скрит текст: покажи

2 ред на условието

[S.B.]

Корморан,защо не посочи и правописната грешка на S.B. ?
2 ред на условието

" окоЛЛната ..." е техническа грешка,а неправилната употреба на пълен член е правописна грешка,но ти явно не правиш разлика...