Квадратно уравнение с тригонометрична функция...

[KOPMOPAH]

Да се реши уравнението:$$x^2+2x.\sin(xy)+1=0$$

[Knowledge Greedy]

[tex]x=0[/tex] не е корен
[tex]sin(xy)=-\frac{x^2+1}{2x}[/tex] - делим на [tex]2x\ne 0[/tex]

Но [tex]\frac{x^2+1}{2|x|}\ge 1[/tex], а лявата страна по модул е по-малка или равна на единица.
Конфликтът се разрешава само и единствено при [tex]\begin{array}{|l} sin(xy)=1 \\ \frac{x^2+1}{2|x|} = 1 \end{array}[/tex]
Оттук [tex]\begin{array}{|l} xy =(2k+1) \frac{\pi}{2} \\ |x| = 1 \end{array}[/tex]
и задачата има две групи решения [tex](x;y)[/tex], а именно [tex]\left ( 1; (2k+1) \frac{\pi}{2} \right )[/tex] и [tex]\left ( -1; (2k+1) \frac{\pi}{2} \right )[/tex],
за произволни цели [tex]k[/tex].

[Davids]

Да се реши уравнението:$$x^2+2x.\sin(xy)+1=0$$

$D = -4(1-sin^2(xy)) = - 4cos^2(xy) \ge 0$
$\Rightarrow cos(xy) = 0$
$\Rightarrow xy = \pm \frac{\pi} {2} +2k\pi$

Разглеждаме два случая:
I) $\frac{\pi} {2} +2k\pi \Rightarrow sin(xy) = 1$
$\Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
$\Rightarrow x = - 1$
$\Rightarrow y = - \frac{\pi} {2} +2k\pi$

Аналогично другото решение е $(-1; \frac{\pi} {2} +2k\pi)$