Конкурс СУ 22.07.1999 г.(зад.2)

[S.B.]

Точките $H$ и $L$ лежат съответно на страните $AB$ и $AC$ на [tex]\triangle ABC[/tex],като $CH \bot AB$ и $\angle ABL = \angle CBL$.Нека $CP = LP$, където $P$ е пресечната точка на $CH$ и $BL$.
а) Да се изрази $BL$ чрез $a$ и $c$, където $a = BC , c= AB$ ;
б)Ако $BC = 1$, да се намери дължината на $AB$, при която дължината на $BL$ е най-голяма.

[vezni]

2.png (33.87 KiB) Прегледано 450 пъти

А) Означаваме [tex]\angle A=\alpha[/tex]. Последователно следва: [tex]\angle ACH = 90\degree-\angle A=90\degree-\alpha; \angle CLP=\angle LCP=90\degree-\alpha[/tex] (от [tex]LP=CP[/tex]);
[tex]\angle HPB=\angle LPC=180\degree-2\angle CLP=2\alpha;\angle HBP=90\degree-\angle HPB=90\degree-2\alpha;\angle B=2\angle HBP = 180\degree-4\alpha;[/tex]
[tex]\angle C = 180\degree-(\angle A+\angle B)=3\alpha[/tex]
От формулата за ъглополовяща: [tex]BL=\frac{2ac\cos(\frac{\angle B}{2})}{a+c}=\frac{2ac\sin2\alpha}{a+c}[/tex] и остава да се изрази [tex]\sin2\alpha[/tex].
От [tex]\angle A+\angle C<180\degree \Rightarrow 4\alpha < 180\degree\Rightarrow \alpha<45\degree[/tex]

От синусова теорема: [tex]\frac ca=\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}=3-4\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\frac 14\left(3-\frac ca\right)=\frac{3a-c}{4a}[/tex]

[tex]\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\frac{a+c}{4a}[/tex] и значи [tex]\sin 2\alpha=2\sqrt{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=\frac{2\sqrt{(3a-c)(a+c)}}{4a}=\frac{\sqrt{(3a-c)(a+c)}}{2a}[/tex]

Заместваме [tex]\sin2\alpha[/tex] и се получава [tex]BL=\frac{c\sqrt{(3a-c)(a+c)}}{a+c}[/tex]

Б) [tex]BC=a=1[/tex], откъдето [tex]\sin^2\alpha=\frac{3-c}{4}[/tex]. Понеже [tex]\alpha<45\degree\Rightarrow 0<\sin^2\alpha=\frac{3-c}{4}<\frac 12 \Rightarrow c\in(1,3)[/tex]

За [tex]BL[/tex] се получава [tex]BL=\frac{c\sqrt{(3-c)(c+1)}}{c+1}=\sqrt{\frac{c^2(3-c)}{c+1}}[/tex]. Максималната стойност се достига, когато подкоренният израз е максимален.

Тоест трябва да изследваме [tex]f(c)=\frac{c^2(3-c)}{c+1}=\frac{3c^2-c^3}{c+1}[/tex] за [tex]c\in(1,3)[/tex]

Производната е [tex]f'(c)=\frac{-2c^3+6c}{(c+1)^2}=\frac{-2c(c^2-3)}{(c+1)^2}[/tex] и [tex]f'(c)>0[/tex] за [tex]c\in(1,\sqrt{3})[/tex] и [tex]f'(c)<0[/tex] за [tex]c\in(\sqrt{3},3)[/tex]
Следователно максималната стойност е при [tex]c=AB=\sqrt{3}[/tex].