задача 19.57

[Сашкопетка]

WIN_20191130_16_42_16_Pro.jpg (180.24 KiB) Прегледано 489 пъти

[vezni]

drawing.png (48.83 KiB) Прегледано 425 пъти

Нека [tex]AN\bot BM[/tex], [tex]N[/tex] - среда на [tex]BC[/tex], [tex]M[/tex] - среда на [tex]AC[/tex], са двете перпендикулярни медиани. Значи ни интересува [tex]\cos \angle C[/tex]. [tex]AN[/tex] пресича [tex]BM[/tex] в [tex]G[/tex] - медицентър на [tex]\triangle ABC[/tex]. Тогава [tex]\angle AGB=90\degree[/tex] и [tex]AG=\frac 23 m_a, BG=\frac 23 m_b[/tex].
От питагорова теорема в [tex]\triangle ABG \Rightarrow c^2=\frac 49(m_a^2+m_b^2)=\frac 19(4c^2+a^2+b^2)[/tex], като ползваме формулата за медиана: [tex]m_a^2=\frac 14(2c^2+2b^2-a^2)[/tex] и аналогичната за [tex]m_b[/tex]. Изразяваме [tex]c^2[/tex] от последното равенство [tex]\Rightarrow c^2=\frac 15(a^2+b^2)[/tex].

От косинусова теорема в [tex]\triangle ABC\Rightarrow \cos\angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac 45\cdot\frac{a^2+b^2}{2ab}\geq \frac 45=0,8[/tex], като ползваме [tex]\frac{a^2+b^2}{2ab}\geq 1[/tex]. Оставям на теб да докажеш това неравенство.

Упътване за неравенството: започва се от [tex](a-b)^2\geq 0[/tex].

[Сашкопетка]

drawing.png

Нека [tex]AN\bot BM[/tex], [tex]N[/tex] - среда на [tex]BC[/tex], [tex]M[/tex] - среда на [tex]AC[/tex], са двете перпендикулярни медиани. Значи ни интересува [tex]\cos \angle C[/tex]. [tex]AN[/tex] пресича [tex]BM[/tex] в [tex]G[/tex] - медицентър на [tex]\triangle ABC[/tex]. Тогава [tex]\angle AGB=90\degree[/tex] и [tex]AG=\frac 23 m_a, BG=\frac 23 m_b[/tex].
От питагорова теорема в [tex]\triangle ABG \Rightarrow c^2=\frac 49(m_a^2+m_b^2)=\frac 19(4c^2+a^2+b^2)[/tex], като ползваме формулата за медиана: [tex]m_a^2=\frac 14(2c^2+2b^2-a^2)[/tex] и аналогичната за [tex]m_b[/tex]. Изразяваме [tex]c^2[/tex] от последното равенство [tex]\Rightarrow c^2=\frac 15(a^2+b^2)[/tex].

От косинусова теорема в [tex]\triangle ABC\Rightarrow \cos\angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac 45\cdot\frac{a^2+b^2}{2ab}\geq \frac 45=0,8[/tex], като ползваме [tex]\frac{a^2+b^2}{2ab}\geq 1[/tex]. Оставям на теб да докажеш това неравенство.

Упътване за неравенството: започва се от [tex](a-b)^2\geq 0[/tex].

---защоо ? от това да се започва то няма да изleze

[Davids]

---защоо ? от това да се започва то няма да изleze

Хайде малко по-сериозно... елементарно е!
$(a-b)^2 \ge 0$
$\Leftrightarrow a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 \ge 2ab |.\frac{1}{2ab}$
$\Leftrightarrow \frac{a^2 + b^2}{2ab} \ge 1$