Геометрична задача

[nenam]

Здравейте,
Търся помощ за решаването на следната задача:

Зад. 10: В триъгълник височината и медианата разделят един от върховете му на три равни части. Да се намерят ъглите на триъгълника.

[ptj]

[tex]\triangle ABC[/tex], [tex]CH[/tex] - височина, [tex]CM[/tex] - медиана

[tex]\triangle MHC\cong \triangle BHC[/tex] (по II-ри признак) [tex]\Rightarrow MH=HB[/tex]

Тогава в правоъгълния [tex]\triangle AHC[/tex] ъглополовящата [tex]CM[/tex] дели катета [tex]AH[/tex] в съотношение [tex]2:1\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow AC:CH=2:1\Rightarrow sin(\angle CAH)=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle CAH=30^\circ[/tex].

Ъглите на триъгълника са [tex]30^\circ, 60^\circ[/tex]и [tex]90^\circ[/tex].

[snejkatuparova]

Даден е △ABC,CH⊥AB и CM - медиана,M∈АB и
AM = MB; ∠ACM = ∠MCH = ∠HCB = φ;
Търсят се ъглите на △ABC;
△BHC≅△MHC (CH - обща, ∠BCH = ∠MCH=φ,
∠BHC = ∠MHC = 90
⇒MH = HB ( = a)→MB=2a;
∠ACM = ∠MCH ⇒ MC е ъглополовяща на ∠ACH;
Построявам МN⊥AC;Знаем,че MH⊥ CH ,т. М∈ на ъглополовящата,следователно MN = MH,и понеже MH = a →MN = a
Разглеждам △АMN:
∠ANM = 90∘
,MN = a,AM = MB = 2a⇒∠MAN = 30∘
;
Разглеждам △АHC: ∠A = 30∘
∠AHC= 90

∠ACH = 60∘
;Но ∠ACH = 2φ , 2φ = 60∘
→ φ = 30
и тогава ∠АCB = 3φ = 90∘

Получихме ъглите нс△ABC : ∠A = 30∘
∠C = 90∘
∠ B = 60∘