Остроъгълен триъгълник

[Hasmojohny]

Височината AH и медианата CM на остроъгълния триъгълник ABC се пресичат в точка E. Отношението на лицата на триъгълниците AEC и BEC е равно на?

[S.B.]

Без заглавие (23).png (271.38 KiB) Прегледано 892 пъти

Височината AH и медианата CM на остроъгълния триъгълник ABC се пресичат в точка E. Отношението на лицата на триъгълниците AEC и BEC е равно на?

[tex]CM[/tex] е медиана $ \Rightarrow S_{AMC } = S_{BMC } = \frac{1}{2}S_{ABC }$
В $\triangle AEB ,EM$ е медиана $\Rightarrow S_{AME } = S_{BME } = \frac{1}{2} S_{ABE }$
$S_{AEC } =S_{AMC } - S_{AME } = \frac{1}{2}S_{ABC } - \frac{1}{2} S_{ABE }$
$S_{BEC } =S_{BMC } - S_{BME } = \frac{1}{2}S_{ABC } - \frac{1}{2} S_{ABE }$
$\Rightarrow S_{AEC } = S_{BEC }$
$$\frac{S_{AEC }}{S_{BEC }} = 1$$

[Евва]

(2 начин) Нека А[tex]А_{1 }[/tex] и В[tex]В_{1 }[/tex] са височини в [tex]\triangle[/tex]АЕС и [tex]\triangle[/tex]ВЕС .
Докажи,че А[tex]А_{1 }[/tex]=В[tex]В_{1 }[/tex]

Тогава [tex]\frac{S_{AEC }}{S_{BEC }}[/tex]=[tex]\frac{\frac{EC.AA_{1 }}{2}}{\frac{EC.BB_{1 }}{2}}[/tex]= 1

[KOPMOPAH]

От решението на $S.B.$ ясно се вижда, че съотношението на лицата е $1$ за ПРОИЗВОЛНА точка $E$ от медианата $CM$. В условието е казано, че $AH$ е височина, което няма НИКАКВО значение за решението. Недомислена задача, в която не е ясно защо авторите са намесили височината...

[S.B.]

От решението на S.B. ясно се вижда, че съотношението на лицата е $1$ за ПРОИЗВОЛНА точка $E$ от медианата $CM$. В условието е казано, че $CH$ е височина, което няма НИКАКВО значение за решението. Недомислена задача, в която не е ясно защо авторите са намесили височината...

И на мен ми направи впечатление,че [tex]AH[/tex] би могла да бъде ВСЯКА права през $A$ която пресича медианата в някаква точка,но реших (Бог знае защо!) ,че може би това е само част от някаква задача,която има продължение в което участва и височината $AH$.