Задачи

[Kristina666]

Здравейте някой може ли да ми помогне с решението на тези задачи. Благодаря!
Отговори: задача 25 x1=-П/4 x2=П/6
Задача 26 60°
Задача 29 корен от 3/18 К3 sin a cosa/2
Задача 30 (-безкрайност;0]

[Евва]

Зад.26 Нека т.Н и т.М са съответно допирните точки на вписаната окръжност с катетите ВС ,АС .
AO=[tex]\sqrt{3}[/tex]x и OD=x
[tex]\triangle[/tex]ADC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ODH ( 1признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AD}{OD}[/tex]=[tex]\frac{AC}{OH}[/tex] т.е. [tex]\frac{x(1+\sqrt{3})}{x}[/tex]=[tex]\frac{AC}{r}[/tex] ; AC=r(1+[tex]\sqrt{3}[/tex]) ,но СМ=r [защото ОНСМ-квадрат]
Намираме АМ=[tex]\sqrt{3}[/tex]r !
([tex]\triangle[/tex]АОМ-правоъгълен) tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{OM}{AM}[/tex]=[tex]\frac{r}{\sqrt{3}r}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
Тогава [tex]\angle[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\angle[/tex]ВАС=60[tex]^\circ[/tex]

[Kristina666]

Зад.26 Нека т.Н и т.М са съответно допирните точки на вписаната окръжност с катетите ВС ,АС .
AO=[tex]\sqrt{3}[/tex]x и OD=x
[tex]\triangle[/tex]ADC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ODH ( 1признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AD}{OD}[/tex]=[tex]\frac{AC}{OH}[/tex] т.е. [tex]\frac{x(1+\sqrt{3})}{x}[/tex]=[tex]\frac{AC}{r}[/tex] ; AC=r(1+[tex]\sqrt{3}[/tex]) ,но СМ=r [защото ОНСМ-квадрат]
Намираме АМ=[tex]\sqrt{3}[/tex]r !
([tex]\triangle[/tex]АОМ-правоъгълен) tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{OM}{AM}[/tex]=[tex]\frac{r}{\sqrt{3}r}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
Тогава [tex]\angle[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\angle[/tex]ВАС=60[tex]^\circ[/tex]

Благодаря ти!

[S.B.]

Без заглавие (40).png (296.39 KiB) Прегледано 627 пъти

Задача 29:

[tex]V_{ABCD } = \frac{AD.S_{ABC }}{3}[/tex]

$S_{ABC } = \frac{AB.AC.sin\angle BAC}{2} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{k^{2}}{2}sin\alpha$
От $\triangle ABM \rightarrow \frac{AM}{AB} = cos\frac{\alpha}{2} \Rightarrow AM = k.cos\frac{\alpha}{2}$
От $\triangle AMD \rightarrow \frac{AD}{AM} = tg30^\circ \Rightarrow AD = k\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{\alpha}{2}$

$V_{ABCD } = \frac{1}{3}.k\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{\alpha}{2}.\frac{k^{2}sin\alpha}{2}$
$$V_{ABCD} = \frac{k^{3}\sqrt{3}}{18}.sin\alpha.cos\frac{\alpha}{2}$$

[KOPMOPAH]

$25.$ задача

$1.$ $\sin x \in \left [-\frac{\pi}2;0 \right)$. В този интервал синусът е отрицателен, $\Rightarrow |\sin x|=-\sin x$, уравнението придобива вида:$$-\sin ^2x=3\cos^2x-2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cos^2x-1=3\cos^2x-2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2\cos^2x=1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cos^2 x= \frac 12 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left(\cos x+\frac {\sqrt 2}2\right)\left(\cos x-\frac {\sqrt 2}2\right)=0$$В интервала $\left [-\frac{\pi}2;0 \right)$ косинусът е положителен, следователно изразът в първите скоби не може да е равен на нула и остава единствено $$\left(\cos x-\frac {\sqrt 2}2\right)=0, $$което ни дава решението $$x=-\frac {\pi}4.$$
$2.$ $\sin x \in \left [0;\frac{\pi}2 \right]$. В този интервал синусът е положителен, $\Rightarrow |\sin x|=\sin x$, уравнението придобива вида:$$\sin ^2x=3\cos^2x-2,$$което след преработка води до $$\left(\cos x+\frac {\sqrt 3}2\right)\left(\cos x-\frac {\sqrt 3}2\right)=0$$Пак изразът в първите скоби е положителен, следователно $$\left(\cos x-\frac {\sqrt 3}2\right)=0,$$откъдето $$x=\frac {\pi}6.$$

Отг. $x \in \left \{-\frac{\pi}4;\frac{\pi}6 \right\}$

[Kristina666]

Без заглавие (40).png

Задача 29:

[tex]V_{ABCD } = \frac{AD.S_{ABC }}{3}[/tex]

$S_{ABC } = \frac{AB.AC.sin\angle BAC}{2} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{k^{2}}{2}sin\alpha$
От $\triangle ABM \rightarrow \frac{AM}{AB} = cos\frac{\alpha}{2} \Rightarrow AM = k.cos\frac{\alpha}{2}$
От $\triangle AMD \rightarrow \frac{AD}{AM} = tg30^\circ \Rightarrow AD = k\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{\alpha}{2}$

$V_{ABCD } = \frac{1}{3}.k\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{\alpha}{2}.\frac{k^{2}sin\alpha}{2}$
$$V_{ABCD} = \frac{k^{3}\sqrt{3}}{18}.sin\alpha.cos\frac{\alpha}{2}$$

Благодаря

[Kristina666]

$25.$ задача

$1.$ $\sin x \in \left [-\frac{\pi}2;0 \right)$. В този интервал синусът е отрицателен, $\Rightarrow |\sin x|=-\sin x$, уравнението придобива вида:$$-\sin ^2x=3\cos^2x-2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cos^2x-1=3\cos^2x-2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2\cos^2x=1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cos^2 x= \frac 12 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left(\cos x+\frac {\sqrt 2}2\right)\left(\cos x-\frac {\sqrt 2}2\right)=0$$В интервала $\left [-\frac{\pi}2;0 \right)$ косинусът е положителен, следователно изразът в първите скоби не може да е равен на нула и остава единствено $$\left(\cos x-\frac {\sqrt 2}2\right)=0, $$което ни дава решението $$x=-\frac {\pi}4.$$
$2.$ $\sin x \in \left [0;\frac{\pi}2 \right]$. В този интервал синусът е положителен, $\Rightarrow |\sin x|=\sin x$, уравнението придобива вида:$$\sin ^2x=3\cos^2x-2,$$което след преработка води до $$\left(\cos x+\frac {\sqrt 3}2\right)\left(\cos x-\frac {\sqrt 3}2\right)=0$$Пак изразът в първите скоби е положителен, следователно $$\left(\cos x-\frac {\sqrt 3}2\right)=0,$$откъдето $$x=\frac {\pi}6.$$

Отг. $x \in \left \{-\frac{\pi}4;\frac{\pi}6 \right\}$

Благодаря