Задача от същия кандидат студентски курс...

[S.B.]

Около окръжност с радиус [tex]R[/tex] е описан равнобедрен трапец, а около трапеца - окръжност с радиус $R\sqrt{30}$.Да се докаже,че :
$cos2\alpha = 0,6$ където $\alpha$ е острият ъгъл на трапеца.

[Knowledge Greedy]

Да означим с [tex]2a[/tex] голямата основа на трапеца, [tex]2b[/tex] да бъде малката му основа. Тогава явно [tex]cos\alpha = \frac{a-b}{a+b}[/tex]
При това от една питагорова теорема [tex](2R)^2+(a-b)^2=(a+b)^2[/tex],
или - респективно с [tex]R=\sqrt{ab}[/tex]
Преди да включим описаната окръжност, да изчислим диагонала на трапеца [tex]AC^2=(a+b)^2+4ab[/tex]
(Още една гледна точка - това последното може да се свърже и с упражнение върху теоремата на Птоломей.)
Втори начин за същия диагонал - с косинусова теорема за [tex]\triangle ACO[/tex] където [tex]O[/tex] е центърът на описаната му окръжност.

Равнобедрен трапец вписан и описан.png (14.68 KiB) Прегледано 720 пъти

[tex]AC^2=2(R\sqrt{30)}^2(1-cos2\alpha)[/tex]
Приравнявайки двете изразявания на [tex]AC[/tex], откриваме [tex](a+b)^2=20ab[/tex]
От
[tex]sin \alpha =\frac{2R}{a+b}=\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}[/tex] - с помощта на горното получаваме [tex]sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex] и оттук [tex]cos2\alpha = \frac{3}{5}[/tex]

[Стоянов]

добре как така ги приравнихте двете AC двете равенства смятам смятам и нищо . задачата ми стана интересна ако може само ми кажете как да я го получа това равенство

[Стоянов]

Да означим с [tex]2a[/tex] голямата основа на трапеца, [tex]2b[/tex] да бъде малката му основа. Тогава явно [tex]cos\alpha = \frac{a-b}{a+b}[/tex]
При това от една питагорова теорема [tex](2R)^2+(a-b)^2=(a+b)^2[/tex],
или - респективно с [tex]R=\sqrt{ab}[/tex]
Преди да включим описаната окръжност, да изчислим диагонала на трапеца [tex]AC^2=(a+b)^2+4ab[/tex]
(Още една гледна точка - това последното може да се свърже и с упражнение върху теоремата на Птоломей.)
Втори начин за същия диагонал - с косинусова теорема за [tex]\triangle ACO[/tex] където [tex]O[/tex] е центърът на описаната му окръжност.

Равнобедрен трапец вписан и описан.png

[tex]AC^2=2(R\sqrt{30)}^2(1-cos2\alpha)[/tex]
Приравнявайки двете изразявания на [tex]AC[/tex], откриваме [tex](a+b)^2=20ab[/tex] - Кое всъщност приравняваме получавам много големи числа ? само ми кажете кое уравнение да реша за да го получа .Много ми е интересна тази задача
От
[tex]sin \alpha =\frac{2R}{a+b}=\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}[/tex] - с помощта на горното получаваме [tex]sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex] и оттук [tex]cos2\alpha = \frac{3}{5}[/tex]