Правоъгълен трапец

[S.B.]

Около кръг с радиус [tex]r[/tex] е описан правоъгълен трапец.Намерете лицето му,ако малката основа е $\frac{3}{2}r$.Определете острия ъгъл на трапеца $\alpha$,така,че лицето да приема най-голямата си и най-малката си стойност.

[Knowledge Greedy]

Задачата е еднозначно определена и без ъгъл [tex]\alpha[/tex].
По-точно, при дадената малка основа [tex]b= \frac{3}{2}r[/tex]
се оказва, че [tex]tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}[/tex] , голямата основа става [tex]3r[/tex] и лицето може да бъде само [tex]S=4,5r^2[/tex]
Т.е. отпада частта за изследване НМС и НГС на лицето.

[KOPMOPAH]

Без да подлагам на съмнение това, което

Задачата е еднозначно определена и без ъгъл [tex]\alpha[/tex].
...

се опитах да възстановя как би трябвало да изглежда задачата. Най-вероятно в оригинал условието е изглеждало така:

Около кръг с радиус [tex]r[/tex] е описан правоъгълен трапец.
а) Намерете лицето му, ако малката основа е $\frac{3}{2}r$;
б) Определете острия ъгъл на трапеца $\alpha$ така, че лицето да приема най-голямата си и най-малката си стойност.

Сега всичко си идва на мястото и би могло да се подходи така:

Правоъгълен трапец.png (10.95 KiB) Прегледано 587 пъти

а)
[tex]BC = \sqrt{x^{2} + 4r^{2}}[/tex]
$AD + BC = AB + CD \Leftrightarrow 2r + \sqrt{x^{2} + 4r^{2}} = 3r + x \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 4r^{2}} = r + x \Rightarrow$
$x^{2} + 4r^{2} = r^{2} + 2rx + x^{2} \Leftrightarrow 2rx = 3r^{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}r$
Съответно:$$S = \frac{9}{2}r^{2}$$
б)
$\alpha \in (0^\circ;90^\circ)$
$\sin\alpha = \frac{2r}{BC} \Rightarrow BC = \frac{2r}{\sin\alpha}$
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2r}{x} \Rightarrow x = \frac{2r}{\tg\alpha}$
$S(\alpha) = \displaystyle\frac{a + b}{2}h = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{6r}{2} + \displaystyle\frac{2r}{\tg\alpha}}{2}.2r \Leftrightarrow r^{2}\left(\frac{3\tg\alpha + 2}{\tg\alpha}\right) = r^{2}(3 + 2\operatorname{cotg}\alpha)$
$S(\alpha) = 3r^{2} + 2r^{2}\cotg\alpha \rightarrow S'(\alpha) = - \frac{2r^{2}}{\sin^{2}\alpha} < 0$
Функцията $S(\alpha)$ е строго намаляваща за $\forall \alpha \in (0^\circ , 90^\circ) \Rightarrow$ най-голямата стойност е при $\alpha \rightarrow 0$, а най-малката - при $\alpha \rightarrow 90^\circ$.

Скрит текст: покажи

Надявам се колегата S.B. да ме извини за умотворенията и редактирането на задачата.

[S.B.]

Два различни погледа върху задачата ,но с един и същи отговор!

Колегата Knowledge Greedy, с безпогрешния нюх на изграден математик ,веднага определя,че трапецът е еднозначно определен и единствената стойност на лицето му е [tex]\frac{9}{2}r^{2}[/tex]

Колегата KOPMOPAH ,също така прекрасен математик , аналитично доказва,че лицето на трапеца изразено като функция на острия му ъгъл няма екстремални стойности и $S = \frac{9}{2}r^{2}$ е единствена стойност за лицето.

Сърдечно благодря и на двамата ми колеги за вниманието!