СУ Математика II пирамида

[mito450]

Помощ със задача 6

[Добромир Глухаров]

Пирамида - сечение.png (24.46 KiB) Прегледано 606 пъти

$S_{\Delta ABE}=\frac{1}{2}AB.EF$

$\Delta FMD$ - равнобедрен правоъгълен

$DM=FM=\frac{1}{3}FC=\frac{1}{3}\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$tg\alpha=\frac{DM}{MC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}$

$\Delta FEC$ - Синусова теорема

$\frac{FE}{sin\alpha}=\frac{FC}{sin(180^\circ-30^\circ-\alpha)}$

$FE=\frac{FC.sin\alpha}{sin(30^\circ+\alpha)}=FC\cdot\frac{sin\alpha}{sin30^\circ cos\alpha+cos30^\circ sin\alpha}=\\=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2tg\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1}=\frac{2\sqrt{3}tg\alpha}{1+\sqrt{3}tg\alpha}=\\=\frac{\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3}=4\sqrt{3}-6$

$S_{\Delta ABE}=\frac{1}{2}\cdot2.(4\sqrt{3}-6)=4\sqrt{3}-6$

[S.B.]

\delta

Без заглавие (92).png (393.29 KiB) Прегледано 584 пъти

Още един (малко по- широк) поглед върху задачата

Пирамидата е правилна триъгълна.$\triangle ABC$ е равностранен Нека т.[tex]M[/tex] е среда на $AB$.Построяваме $CM\bot AB$ ,$\triangle ABD$ е равнобедрен с основа $AB$.Построявам $DM\bot AB$. През $DM$ и $CM$ построявам равнина $(\delta)$ ,която е перпендикулярна на $AB$ и пресича пирамидата в $\triangle MCD$ .
В $\triangle MCD $ Построявам $MN$ така,че $N\in CD$ и $\angle CMN = 30^\circ$
От $AB \bot (\delta)$ и $ MN\in (\delta)\Rightarrow AB \bot MN$ .По $AB$ и $MN$ построявам сечението $ABN$ ,което минава през $AB$ и сключва ъгъл $30^\circ$ с основата на пирамидата.$S_{ABN } = \frac{AB.MN}{2}$
$AB = BC = AC = 2 \Rightarrow CM = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow MH = \frac{1}{3}.\sqrt{3} , HC = \frac{2}{3}.\sqrt{3}$
От $ \triangle MHD \rightarrow DH \bot\ MC, \angle HMD = 45^\circ \Rightarrow HD = \frac{\sqrt{3}}{3}$
От $\triangle HCD \rightarrow tg\beta = \frac{1}{2}, sin\beta = \frac{\sqrt{5}}{5} , cos\beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
В $\triangle MCN \rightarrow\gamma = 180^\circ -(\alpha + \beta) \Rightarrow sin\gamma = sin(180^\circ -(\alpha + \beta)) = sin(\alpha + \beta) $
$sin\gamma = sin(30^\circ + \beta) = \frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{10}(2 + \sqrt{3})$
За $\triangle MCN$ прилагам Синусова теорема :
$\frac{MN}{sin\beta} = \frac{MC}{sin\gamma} \Leftrightarrow MN = MC.sin\beta. \frac{1}{sin\gamma} \Leftrightarrow MN = \sqrt{3}.\frac{\sqrt{5}}{5}.\frac{10}{\sqrt{5}(2 + \sqrt{3})} \Rightarrow MN = 2\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$
$S_{ABN } = \frac{AB.NM}{2} = \frac{1}{2}.2.2\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 6$