Окръжност в правоъгълен триъгълник

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle ABC , \angle C = 90^\circ ,CD\bot AB, D\in AB,AD = 18 , BC = 40 ,AA_{1 }[/tex] и $CC_{1 }$ са медиани.Построена е окръжност $k$ която пресича $BC$ в т.$A_{1 }$ и се допира до $AB$ в т. $C_{1 }$ .Да се намери радиуса на тази окръжност.

Скрит текст: покажи

Без заглавие (75).png (206.33 KiB) Прегледано 587 пъти

[KOPMOPAH]

Триъгълник и окръжност.png (13.13 KiB) Прегледано 568 пъти

Хубава задачка, вероятно пак от проф. К. Николов.

Скицирам:

Центърът на тази окръжност е пресечената точка $E$ на перпендикуляра, издигнат от $C_1$ и симетралата на $A_1C_1$ (средна отсечка). Нататък - $C_1E \cap BC = F$, $\triangle C_1A_1F$ е правоъгълен ($C_1A_1 \bot BC$), значи $C_1F$ се явява диаметър, $C_1F=2r$.
Отбелязваме $BD$ с $x$, от метрични зависимости:$$x(x+18)=40^2\Rightarrow BD=32, AB=50, BC_1=25$$ $$CD^2=18.32\Rightarrow CD=24$$
Тр-ците (както пишат някои ) $\triangle BDC$ и $\triangle BC_1F$ са подобни, откъдето $$\frac{BC_1}{BD}=\frac{2r}{CD}\Rightarrow \frac{25}{32}=\frac{2r}{24} \Rightarrow r=\frac {75}8=9,375‬ $$

[Евва]

Започнала съм като КОРМОРАН и лесно намирам ,че BD=32 ,AC=30 [tex]\Rightarrow[/tex] средната отсечка [tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]=15 .
Означавам с [tex]\beta[/tex] [tex]\angle[/tex]DBC и с т.Q средата на отсечката [tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] ,тогава [tex]C_{1 }[/tex]Q=[tex]\frac{15}{2}[/tex] .
[tex]\triangle[/tex]E[tex]C_{1 }[/tex]Q[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DBC ,защото
1.[tex]\angle[/tex][tex]C_{1 }[/tex]QE=[tex]\angle[/tex]CDB=90[tex]^\circ[/tex]
2.[tex]\angle[/tex]E[tex]C_{1 }[/tex]Q=[tex]\angle[/tex]DBC=[tex]\beta[/tex] (с взаимноперпендикулярни рамене)

[tex]\frac{C_{1 }Q}{DB}[/tex]=[tex]\frac{EC_{1 }}{BC}[/tex] ; [tex]\frac{\frac{15}{2}}{32}[/tex]=[tex]\frac{r}{40}[/tex] ; r=[tex]\frac{75}{8}[/tex]