задача от примерно дзи

[Делян Василев]

мат4.png (34.81 KiB) Прегледано 1024 пъти

[S.B.]

Без заглавие - 2020-03-12T180200.376.png (293.79 KiB) Прегледано 938 пъти

Нека $AB = c , AC = b ,\angle CAB = \alpha$
Продължавам медианата $АМ$ до точка $K$ , така,че $AK = 2AM$ , $ABKC$ e успоредник
[tex]\triangle APC \approx \triangle ANB \rightarrow \frac{PC}{NB} = \frac{b}{c} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{b}{c} \Rightarrow b = c\sqrt{2}[/tex]
От $ANB \rightarrow cos\alpha = \frac{\sqrt{c^{2} - 1}}{c}$
За $\triangle ABK$ Косинусова теорема :
$4 = c^{2} + b^{2} + 2.c.b.cos\alpha \Leftrightarrow 4 = c^{2} + 2c^{2} + 2c.c\sqrt{2}.\frac{\sqrt{c^{2} - 1}}{c}$......
$c^{4} - 16c^{2} + 16 = 0 \Leftrightarrow (c^{2} + 2\sqrt{2}c - 4)(c^{2} - 2\sqrt{2}c - 4) = 0$
Валидни корени са $c_{1 } = \sqrt{2}(1 + \sqrt{3}) , c_{2 } = - \sqrt{2}(1 - \sqrt{3})$
Тогава $b_{1 } = 2(1 + \sqrt{3}) , b_{2 } = -2(1 - \sqrt{3})$
От $\triangle APC \Rightarrow sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{b} = $
$ \frac{\sqrt{2}}{-2(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{-2(1 - 3)} = \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}) =\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = sin(45^\circ + 30^\circ) = sin75^\circ$

Скрит текст: покажи

Честно казано с другия корен не ми се получава 75 не знам защо...

[Делян Василев]

ъгъл А е 75 градуса

[Делян Василев]

и аз почнах така но ъгълът е 75 градуса

[Делян Василев]

не мога да го изчисля ъгъла А

[Добромир Глухаров]

$2^2=(c\sqrt{2})^2+c^2+2c.c\sqrt{2}.cos\alpha$

$4=3c^2+2\sqrt{2}c^2\cdot\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}$

$2\sqrt{2}c\sqrt{c^2-1}=4-3c^2$

$8c^2(c^2-1)=(4-3c^2)^2$

$\cdots$

$c^4-16c^2+16=0$

$c^2=8\pm4\sqrt{3}$

$c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

$b=c\sqrt{2}=2+2\sqrt{3}$

$cos\alpha=\frac{CP}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{c\sqrt{2}}=\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\alpha=75^\circ$

[Делян Василев]

страната а

[Делян Василев]

по косинусова нали

[Добромир Глухаров]

$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\alpha=(2+2\sqrt{3})^2+(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2-2(2+2\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\\=4+12+8\sqrt{3}+6+2+2.\sqrt{12}-(1+\sqrt{3})(6-2)=24+12\sqrt{3}-4-4\sqrt{3}=20+8\sqrt{3}=4(5+2\sqrt{3})$

[Евва]

Моите отговори малко се разминават .
Може би на 6 ред на S.B. трябваше да има минус т.е.
4=[tex]c^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex] - 2cb.cos[tex]\alpha[/tex]
След малко ще пратя своето решение .

[Евва]

Не съм правила допълнителни построения .
[tex]\triangle[/tex]ABN[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]APC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{AC}[/tex]=[tex]\frac{BN}{CP}[/tex] ; [tex]\frac{c}{b}[/tex]=[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] ;b=c[tex]\sqrt{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b^{2}[/tex]=2[tex]c^{2}[/tex] (1)

(АМ-медиана)[tex]AM^{2}[/tex]=[tex]\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}[/tex] т.е. 2[tex]b^{2}[/tex]+2[tex]c^{2}[/tex]-[tex]a^{2}[/tex]=4 (2) ( заместваме (1) в (2) )
2.2[tex]c^{2}[/tex]+2[tex]c^{2}[/tex]-[tex]a^{2}[/tex]=4 ; [tex]a^{2}[/tex]=6[tex]c^{2}[/tex]-4 (3)

AP+BP=AB ползваме Питагор
[tex]\sqrt{b^{2}-2}[/tex]+[tex]\sqrt{a^{2}-2}[/tex]=c (4) (замествам (1) и (3) в (4) )
[tex]\sqrt{2c^{2}-2}[/tex]+[tex]\sqrt{6c^{2}-4-2}[/tex]=c [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\sqrt{c^{2}-1}[/tex]+[tex]\sqrt{6}[/tex][tex]\sqrt{c^{2}-1}[/tex]=c

([tex]\sqrt{2}[/tex]+[tex]\sqrt{6}[/tex])[tex]\sqrt{c^{2}-1}[/tex]=c [tex]\Rightarrow[/tex] (2+2[tex]\sqrt{12}[/tex]+6)([tex]c^{2}[/tex]-1)=[tex]c^{2}[/tex] ...

(7+4[tex]\sqrt{3}[/tex])[tex]c^{2}[/tex]=8+4[tex]\sqrt{3}[/tex] ; [tex]c^{2}[/tex]=[tex]\frac{8+4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}[/tex] . [tex]\frac{7-4\sqrt{3}}{7-4\sqrt{3}}[/tex] ...
c=[tex]\sqrt{8-\sqrt{48}}[/tex] според формула за преобразуване на радикали c=[tex]\sqrt{\frac{8+4}{2}}[/tex]-[tex]\sqrt{\frac{8-4}{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] c=[tex]\sqrt{6}[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex]

b=c[tex]\sqrt{2}[/tex]=([tex]\sqrt{6}[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex])[tex]\sqrt{2}[/tex] ; b=2[tex]\sqrt{3}[/tex]-2
От (3) намираме а=[tex]\sqrt{44-\sqrt{1 728}}[/tex]

sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{CP}{AC}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}}{b}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{3}-1)}[/tex] .[tex]\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2(3-1)}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex]

[S.B.]

Моите отговори малко се разминават .
Може би на 6 ред на S.B. трябваше да има минус т.е.
4=[tex]c^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex] - 2cb.cos[tex]\alpha[/tex]
След малко ще пратя своето решение .

Не е "минус" защото става дума за [tex]\angle ABK = (180^\circ - \alpha)[/tex] до колкото ми е известно $cos(180^\circ - a) = - cos\alpha$ и тогава $ 4 = c^{2} + b^{2}$ + $2bc .cos\alpha$

[S.B.]

не мога да го изчисля ъгъла А

Интересно ми е КОЙ и КЪДЕ прочете в условието, че се търси [tex]\angle A[/tex]?
Пише съвсем ясно,че се търси $sin BAC$ , което по-различно.
Задачата не е нищо особено като геометрия - тая е ясна:Два подбни триъгълника ,определяне на синус от правоъгълен триъгълник и две косинусови теореми. Просто изчисленията са "хамалски", което не допринася за демонстриране на знания по геометрия, а изисква виртуозност при хамалски сметки.