Максимално лице на трапец

[S.B.]

В окръжност с радиус [tex]R[/tex] е вписан трапец $ABCD$ с основа $AB = 2R$ и остър ъгъл $\alpha$ Да се изрази лицето на трапеца като функция на $\alpha$.За кои стойности на $\alpha$ лицето е най-голямо ?

[KOPMOPAH]

Максимално лице на трапец.png (12 KiB) Прегледано 574 пъти

Ясно е, че $AD=2R\cos \alpha$ и $BD=2R\sin \alpha$.
От правоъгълния $\triangle ABD$ имаме$$AD.DB=AB.DH \Rightarrow DH=h=\frac{2R\cos \alpha.2R\sin \alpha}{2R}=R\sin 2\alpha$$
От $\triangle AHD$ имаме $\displaystyle\frac h{ \displaystyle R-\frac x2}=\operatorname {tg}\alpha$, откъдето $x=2R(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)$.
Тогава лицето на трапеца е$$S=\frac{2R+2R(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)}2.R\sin 2\alpha,$$което представяме във вида $$S=R^2\left(\sin2\alpha -\frac{\sin4\alpha}2\right)$$ за да е по-лесно диференцирането.

Нататък$$S'(\alpha)=2\cos 2\alpha-2\cos 4\alpha=...=\sin 3\alpha \sin \alpha^*$$

Скрит текст: покажи

$^*$ В израза за производната съм махнал коефициентите, тъй като така и така трябва да я приравним на $0$

Доколкото $\alpha$ е остър ъгъл, ама не чак толкова остър, че да е равен на $0$ и $\sin \alpha \ne 0$. Тогава $\sin 3\alpha=0$, откъдето $ 3\alpha=180^\circ \Rightarrow \alpha=60^\circ$.