Три успоредни прави

[S.B.]

Дадени са три успоредни прави [tex]l_{1 },l_{2 },l_{3 }[/tex] ,като разстоянието между $l_{1 }$ и $l_{2 }$ е $a$ , а между $l_{2 }$ и $l_{3 }$ е $b$.Намерете лицето на триъгълника, върховете на който лежат на трите успоредни прави,а мярката на ъглите му удовлетворяват уравнението:
$$(4cos^{2}x -4cosx + 1)(sin2x - 4cosx - sinx + 2) = 0$$

[KOPMOPAH]

$\underbrace{(4\cos^2x−4\cos x+1)}_{=(2\cos x-1)^2}\underbrace{(\sin 2x−4\cos x−\sin x+2)}_{=(2\cos x-1)(\sin x-2)}=0 \Leftrightarrow (2 \cos x-1)^3(\sin x-2)=0$
Доколкото $\sin x-2 \ne 0$ за $ \forall x$, то можем с чиста съвест да се отървем от този множител, без да загубим решение и да стигнем до:$$ (2 \cos x-1)^3=0$$чиито решения са $x=\pm \frac {\pi}3+2k\pi$, значи триъгълникът се оказва равностранен.

Три успоредни прави.png (9.2 KiB) Прегледано 574 пъти

Приемаме страната на триъгълника за $x$. От $\triangle AFB$ имаме $$\frac bx=\sin \varphi\Rightarrow \cos \varphi = \frac{\sqrt {x^2-b^2}}x$$От $\triangle BCE$ имаме: $$\frac ax=\sin (60-\varphi)=\sin 60\cos\varphi - \cos 60 \sin \varphi =\frac{\sqrt 3}2.\frac{\sqrt {x^2-b^2}}x-\frac 12.\frac bx =...\Rightarrow x^2 = \frac{4\left(a^2+ab+b^2\right)}3$$
Лицето на равностранния триъгълник е:$$S=\frac{x^2\sqrt 3}4=\frac{\sqrt 3\left(a^2+ab+b^2\right)}3$$