Разлагане на множители

[MoDz]

Здравейте! След 20 дни имам кандидатстудентски изпит по математика. Проблемът е, че не мога да разлагам многочлени на множители. Не говоря за формули за съкратено умножение и квадратни тричлени, а за задачи от този сорт:
[tex]2x^4 + 9x^3 + 4x^2 + x + 8 = 0[/tex]
Това е напълно измислено уравнение, не знам дали има корени. Трябва да разлагам максимално бързо, защото няма време (~2,5 минути, като в повечето случаи това не е цялата задача, а само част от нея). Прегледах схемата на Хорнер, но чрез нея ще стане много бавно.
Ето един израз, в който е използван методът, който търся:
[tex]x^3+2x^2-2x+3=x^3+3x^2-x^2-3x+x+3=x^2(x+3)-x(x+3)+x+3=(x+3)(x^2-x+1)[/tex] и т.н.
Как се нарича този метод?

[b1ck0]

Нарича се "Умен съм, сещам се .... "

[MoDz]

[tex]x^3+3x^2-x^2-3x+x+3[/tex]
Тук очевидно има някаква схема - коефициентите (1 и 3) се редуват и знаците са симетрични (++--++).

[martosss]

като използваш схемата на Хорнер и търсиш рационални корени можеш да търсиш само измежду делителите на p/q, където р и q са ти съответно свободен член и коеф. пред най-високата степен на х на някакво у-е. Ще демонстрирам това нагледно:
3x?-7x+2=0
Тук имаш р=2 и q=3, тоест търсиш делители на 2/3. това са ±1, ±2, ±1/3 и ±2/3.
Само тези числа може да са рационални корени на това у-е, като разбира се 2 и 1/3 са истинските корени.
Това означава, че може и да има други корени, но те ще са ирационални(ще имат радикали).

В даденото ти у-е [tex]x^3+2x^2-2x+3[/tex] имаш, че p/q=3, тоест трябва да търсиш измежду ±1, ±3 - имаш 4 проверки...
методът, показан от теб, е същото като Хорнер, но просто този, който го е приложил знае, че х=-3 е корен. Принципно няма значение дали използваш Хорнер или този метод - и при двете се проверява дали дадено конкретно число е корена на уравнението.

Показаният метод можеш да направиш и с някое друго число, но ако то не е корен ще получиш някакъв остатък накрая - примерно пробваш с х=-2
(x?+2x?)+(+0x?+0x) +(-2x-4) +7= (x+2)(x?+0x-2)+7
Ето, че ти частично разложи израза като "отдели" множител х+2, само че остана остатък 7, ако направиш същото с Хорнер ще получиш коефициенти 1 0 -2 и +7 остатък накрая.
Тоест този метод е нещо като Хорнер на ум.
Лошото и при двата метода се иска късмет да налучкаш корена, или да провериш всички възможности, които както казах са всички рационални делители на p/q(това не си спомням защо беше така, но е така )

вече да можеш да откриваш корени на у-е си е ... въпрос на опит и на късмет.
При някои у-я пък се използва полагания, така че да се получи от така даденото друго у-е, което да решим по-лесно.
Примерно като имаш [tex]x^4-5x^2+3=0[/tex] се полага x?=t?0, след което се решава квадратното у-е t?-5t+3=0.
Може и без полагане да го решиш, като направо разложиш даденото на [tex]x^4-\frac{5+sqrt{13}}{2}x^2-\frac{5-sqrt{13}}{2}x^2+3=0[/tex]
И сега групираш две по две:
[tex]x^2\left(x^2-\frac{5+\sqrt{13}}{2}\right)-\frac{5-\sqrt{13}}{2}\left(x^2-\frac{3*2}{5-\sqrt{13}}\right)=0,\;\; \frac{3*2}{5-\sqrt{13}}*\frac{5+\sqrt{13}}{5+\sqrt{13}}=\frac{6(5+\sqrt{13})}{12}=\frac{5+sqrt 13}{2}[/tex]
Така получихме
[tex](x^2-\frac{5+\sqrt{13}}{2})(x^2-\frac{5-\sqrt{13}}{2})=0[/tex]
...
По-лесно е обаче да решаваш квадратното у-е t?-5t+3=0,след което да се върнеш в полагането и да намериш директно корените за х.
Та ето такива методи се използват в задачи, където у-ето е от по-висока степен.
Има примерно Метод на Неопределените Коефициенти - http://www.math10.com/forumbg/viewtopic ... 8587#58587
При други случаи, когато знаеш, че коренът е в интеравал [1, 1], можеш да положиш x=sinx и да ползваш тригонометрични формули, но трябва общо взето да е нагласено, за да стане