Система

[S.B.]

Да се реши системата:
[tex]\begin{array}{|l} x^{3} + 2x^{2}y - xy^{2} - 2y^{3} = 0\\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array}[/tex]

[Davids]

Първото уравнение групираме по следния начин:
$(x + 2y)(x^2 - y^2) = 0$, от което получаваме три случая:
I) $x = - 2y \Rightarrow y = \pm \frac{2}{5}\sqrt{5} \Rightarrow x = \mp \frac{4}{5}\sqrt{5}$

II) $x = y \Rightarrow y = \pm 2 = x$

III) $x = -y \Rightarrow y = \pm 2 \Rightarrow x = \mp 2$

От телефона съм, така че ще си спестя допълнителното изрично доразписване на двойките решения

[S.B.]

От телефона съм, така че ще си спестя допълнителното изрично доразписване на двойките решения

Да, това са отговорите.Може би има хора за които ще бъде интересно да видят и цялото решение......

[S.B.]

Да се реши системата:
[tex]\begin{array}{|l} x^{3} + 2x^{2}y - xy^{2} - 2y^{3} = 0\\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array}[/tex]

Още един поглед върху системата :

Очевидно е че двойката $(0;0)$ не е решение на системата.Деля първото уравнение на $y^{3} \ne0$ и получавам:
[tex](\frac{x}{y})^{3} + 2(\frac{x}{y})^{2} - \frac{x}{y} - 2 = 0[/tex]
Полагам $\frac{x}{y} = k$ и получавам:
$k^{3} + 2k^{2} - k - 2 = 0 \Leftrightarrow k^{2}(k + 2) - (k + 2) = 0 \Leftrightarrow (k + 2)(k^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow(k + 2)(k + 1)(k - 1) = 0$
Получавам $k = - 2 , k = - 1 , k = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 2 , \frac{x}{y} = - 1 , \frac{x}{y} = 1$
Образувам 3 нови системи:
$\begin{array}{|l} x = -2y\\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x = - y \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x = y \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{array}$
От първата система $\rightarrow y_{1,2 } = \pm\frac{2\sqrt{10}}{5} ; x_{1,2 } = \mp\frac{4\sqrt{10}}{5}$
От втората система $\rightarrow y_{3,4 } = \pm 2 ; x_{3.4 } = \mp 2$
От третата система $\rightarrow y_{5 ,6} = \pm 2 ; x_{5,6 } = \pm 2$