Параметрично уравнение

[S.B.]

Дадено е уравнението:

$(m - 2).log_{2 }^{2}x - 4m.log_{2 }x + 2m - 6 = 0 $ ,където $m$ е реален параметър.

За кои стойности на $m$ уравненито има 2 различни корена,които принадлежат на интервала [tex](0 ; 4)[/tex]

[Добромир Глухаров]

$x\in(0;4)\Rightarrow log_2x=t\in(-\infty;2)$

$f(t)=(m-2)t^2-4mt+2m-6=0$

$m-2\neq0$ - за да е квадратно уравнението и да може да има 2 корена.
$D_1=(-2m)^2-(m-2)(2m-6)>0$ - за да са различни корените.
$(m-2).f(2)>0\wedge\frac{x_1+x_2}{2}<2$ - за да бъдат корените по-малки от 2.

$\begin{array}{|l}m\neq2\\4m^2-2(m^2-5m+6)>0\\(m-2)(4m-8-8m+2m-6)>0\\\frac{4m}{2(m-2)}<2\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}m\neq2\\2m^2+10m-12>0\\(m-2)(-2m-14)>0\\\frac{4m-4m+8}{2(m-2)}<0\end{array}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\begin{array}{|l}m\neq2\\m\in(-\infty;-6)\cup(1;+\infty)\\m\in(-7;2)\\m\in(-\infty;2)\end{array}\Rightarrow\red{ m\in(-7;-6)\cup(1;2) }$