Още една система

[Добромир Глухаров]

Да се реши системата:

$\begin{array}{|l}x^4+x^2y^2+y^4=481\\x^2+xy+y^2=37\end{array}$

[pal702004]

Използваме, че

$x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$, делим, получаваме

$x^2-xy+y^2=13$

откъдето $xy=12,x+y=\pm 7$, с решения $(3,4);(-3,-4)$ (с пермутации)

[S.B.]

Да се реши системата:

$\begin{array}{|l}x^4+x^2y^2+y^4=481\\x^2+xy+y^2=37\end{array}$

Още един поглед върху задачата - малко по-подробно решение за всички,които се интересуват от това

[tex]\begin{array}{|l} x^{4} + x^{2}y^{2} + x^{4} = 481\\ x^{2} + xy + y^{2} = 37 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} [(x + y)^{2} - 2xy]^{2} - (xy)^{2} = 481 \\ (x + y)^{2} - xy = 37 \end{array}[/tex]

Полагам $x + y = u ; xy = v$

$\begin{array}{|l} (u^{2} - 2v)^{2} - v^{2} = 481\\ u^{2} - v = 37\end{array}$
Изразявам от второто уравнение $u^{2} = 37 + v$ замествам и получавам:

$(37 + v - 2v)^{2} - v^{2} = 481 \Leftrightarrow (37 - v)^{2} - v^{2} = 481 \Leftrightarrow (37 - v - v)(37 - v + v) = 481 \Leftrightarrow $
$37(37 - 2v) = 481 \Leftrightarrow 37 - 2v = 13 \Rightarrow v = 12 , u^{2} = 49 \Rightarrow u_{1,2 } = \pm 7$

Връщам субституцията и получавам 2 системи:

$\begin{array}{|l} x + y = 7 \\ xy = 12 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x + y = - 7 \\ xy = 12 \end{array}$

$\begin{array}{|l} x + y = 7 \\ xy = 12 \end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} x = 7 - y \\ y(7 - y) = 12 \end{array} \rightarrow (x_{1 } = 4 , y_{1 } = 3) ; (x_{2 } = 3 , y_{2 } = 4) $

$\begin{array}{|l} x + y = -7 \\ xy = 12 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = - (7 + y) \\ -(7 + y)y = 12 \end{array} \rightarrow (x_{1 } = - 3 , y_{1 } = - 4) ;( x_{2 } = - 4 . y_{2 } = - 3)$

Решенията са: $$ (3 ; 4) , (4 ; 3) ,(- 3 ; - 4) , ( - 4 ; - 3)$$