И още една... (система уравнения)

[Добромир Глухаров]

Да се реши системата:

$\begin{array}{|l}9x^3+42x^2y+66xy^2+35y^3=637\\7x^3+30x^2y+42xy^2+19y^3=387\end{array}$

[Евва]

Получих отговор (1;2)

[S.B.]

Да се реши системата:

$\begin{array}{|l}9x^3+42x^2y+66xy^2+35y^3=637\\7x^3+30x^2y+42xy^2+19y^3=387\end{array}$

[tex]\begin{array}{|l} 9x^{3} + 42x^{2}y + 66xy^{2} + 35^{3} = 637 \\ 7x^{3} + 30x^{2}y + 42xy^{2} + 19y^{3} = 387\end{array}[/tex]

Изваждам почленно и получавам:

$2x^{3} + 12x^{2}y + 24xy^{2} + 16y^{3} = 250 \Leftrightarrow x^{3} + 6x^{2}y + 12xy^{2} + 8y^{3} = 125\Leftrightarrow (x + 2y)^{3} = 5^{3} \Rightarrow$ $$x + 2y = 5$$

[tex]\begin{array}{|l} 9x^{3} + 42x^{2}y + 66xy^{2} + 35y^{3} = 637 \\ 7x^{3} + 30x^{2}y + 42xy^{2} + 19y^{3} = 387 \end{array}[/tex]

Събирам почленно и получавам:

$16x^{3} + 72x^{2}y + 108xy^{2} + 54y^{3} = 1024 \Leftrightarrow 8x^{3} + 36x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^{3} = 512 \Leftrightarrow (2x + 3y)^{3} = 8^{3} \Rightarrow$ $$ 2x + 3y = 8$$

Образувам система еквивалентна на дадената:

$\begin{array}{|l} x + 2y = 5 \\ 2x + 3y = 8 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}- 2x - 4y = - 10 \\ 2x + 3y = 8 \end{array} \Rightarrow y = 2 , x = 1$

Отговор : $(1 ; 2)$

[Knowledge Greedy]

Да, като извадим двете уравнения, получаваме [tex](x+2y)^3=125[/tex]
В реални числа [tex]x+2y=5[/tex]

Събираме двете уравненея [tex]16x^3+72x^2y+108xy^2+54y^3=1024[/tex]

Съкращаваме на две [tex]8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3=512[/tex]
След като дясната страна е [tex]8^3[/tex], лесно се вижда, че [tex](2x+3y)=8^3[/tex]
и остава да решим системата
[tex]\begin{array}{|l} x + 2y = 5 \\ 2x +3 y = 8 \end{array}[/tex]

Евва » Пон Апр 20, 2020 7:13 pm e абсолютно права [tex]\begin{array}{|l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}[/tex]