Бисектриси...

[S.B.]

Даден е правоъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex],в който $\angle C = 90^\circ,AB = c$
Ъглополовящите $l_{A }$ и $l_{B }$ са такива, че $l_{A }.l_{B } = m^{2}$
Да се докаже ,че :
а) $sin\frac{\alpha}{2}.sin\frac{\beta}{2} = \frac{m^{2}}{4c^{2}}$
б) Ако т.$O$ е пресечната точка на ъглополовящите то $AO.BO = \frac{m^{2}}{2}$

[KOPMOPAH]

Това е за "Задача на седмицата"! Винаги в задачите за бисектриси има много мъка...

[Евва]

Справих се с а) ,но ще потърся по-опростено решение .

[KOPMOPAH]

Бисектриси.png (16.15 KiB) Прегледано 696 пъти

а) Ако катетите са $a$ и $b$, съответните части от тях са по толкова, както е показано на чертежа (ясно защо).

От формулата за ъглополовяща имаме:$$l_A^2=bc-\frac{ab}{b+c}.\frac{ac}{b+c}=\frac{bc}{(b+c)^2}\left((b+c)^2-a^2\right)=\frac{bc}{(b+c)^2}(a+b+c)(b+c-a)~~~~~~(1)$$ $$l_B^2=...=\frac{ac}{(a+c)^2}(a+b+c)(a+c-b)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$
Умножаваме равенства $(1)$ и $(2)$ $$l_A^2.l_B^2=\frac{abc^2}{(a+c)^2(b+c)^2}.(a+b+c)^2\underbrace{\left(c^2-(a-b)^2\right)}_{=c^2-a^2+2ab-b^2=2ab}$$Получихме $$l_A^2.l_B^2=\frac{2a^2b^2c^2}{(a+c)^2(b+c)^2}.(a+b+c)^2$$
Делим двете страни на $l_A.l_B$ и групираме$$\underbrace{l_A.l_B}_{\displaystyle=m^2}=2c^2.\underbrace{\frac{ab}{l_A(b+c)}}_{\displaystyle=\sin \frac{\alpha}2}.\underbrace{\frac{ab}{l_B(a+c)}}_{\displaystyle=\sin \frac{\beta}2}.\frac{(a+b+c)^2}{(b+c)(a+c)}~~~~~~~~~~~~~(3)$$
а последната дроб преработваме$$\frac{(a+b+c)^2}{(b+c)(a+c)}=\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{ab+ac+bc+c^2}=\frac{2c^2+2ab+2bc+2ac}{ab+ac+bc+c^2}=2$$
Като заместим в $(3)$, получаваме
$$m^2=2c^2.\sin \frac{\alpha}2.\sin \frac{\beta}2.2\Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black} \sin \frac{\alpha}2.\sin \frac{\beta}2=\frac {m^2}{4c^2} }}}$$


б) Първо ще докажем, че $\measuredangle AOB= 135^\circ$
$$\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \frac{\alpha}2+\frac{\beta}2= 45^\circ \Rightarrow\measuredangle AOB= 135^\circ$$
$$S_{\triangle AOB}=\frac 12AO.BO.\sin \measuredangle AOB=\frac {AO.BO\sqrt 2}4~~~~~~~(4)$$
От друга страна $$S_{\triangle AOB}=\frac 12 \frac{c^2\sin \frac{ \alpha}2.\sin \frac{\beta}2}{\sin 135^\circ}~~~~~~~(5)$$
Приравнявайки $(4)$ и $(5)$, получаваме $$\frac {AO.BO\sqrt 2}4=\frac 12 \frac{c^2\sin \frac{ \alpha}2.\sin \frac{\beta}2}{\sin 135^\circ}$$откъдето след преобразуване се доказва необходимото равенство.

[Евва]

а) (2 начин)
[tex]a^{2}[/tex][tex]b^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex][tex]b^{2}[/tex]
([tex]c^{2}[/tex]-[tex]b^{2}[/tex])([tex]c^{2}[/tex]-[tex]a^{2}[/tex])=[tex]a^{2}[/tex][tex]b^{2}[/tex]
(c-b)(c+b)(c-a)(c+a)=[tex]a^{2}[/tex][tex]b^{2}[/tex]

(c-b)(c-a)=[tex]\frac{ab}{b+c}[/tex].[tex]\frac{ab}{a+c}[/tex]
(c-b)(c-a)=C[tex]A_{1 }[/tex].C[tex]B_{1 }[/tex]

[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]\frac{c-b}{c}[/tex].[tex]\frac{c-a}{c}[/tex]=[tex]\frac{CA_{1 }.CB_{1 }}{4c^{2}}[/tex]

[tex]\frac{1}{4}[/tex](1-[tex]\frac{b}{c}[/tex])(1-[tex]\frac{a}{c}[/tex])=[tex]\frac{CA_{1 }.CB_{1 }}{4c^{2}}[/tex]

[tex]\frac{1-cos\alpha}{2}[/tex].[tex]\frac{1-cos\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{CA_{1 }.CB_{1 }}{4c^{2}}[/tex]

[tex]sin^{2}[/tex][tex]\frac{\alpha}{2}[/tex][tex]sin^{2}[/tex][tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{CA_{1 }.CB_{1 }}{4c^{2}}[/tex]

sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]sin[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{4c^{2}}[/tex].[tex]\frac{CA_{1 }}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex].[tex]\frac{CB_{1 }}{sin\frac{\beta}{2}}[/tex]

sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]sin[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{4c^{2}}[/tex].[tex]\frac{CA_{1 }}{\frac{CA_{1 }}{l_{A }}}[/tex].[tex]\frac{CB_{1 }}{\frac{CB_{1 }}{l_{B }}}[/tex]

sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]sin[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{l_{A }l_{B }}{4c^{2}}[/tex]

sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]sin[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=[tex]\frac{m^{2}}{4c^{2}}[/tex]

Скрит текст: покажи

б) също съм решила по различен начин.