Бисектриса и симетрала...

[S.B.]

Даден е равнобедрения трапец $ABCD$ с основи $ AB = a , CD = b , a > b$ и [tex]\angle DAB = 60^\circ[/tex].
Бисектрисата на $\angle ADB$ пресича симетралата на бедрото $BC$ в т. $O$.Да се намери:
а) разстоянията от т.$O$ до страните на трапеца;
б)$ S_{\triangle AOD} = ?$

[math10.com]

trapec.png (45.47 KiB) Прегледано 1103 пъти

Ето едно решение за 9-ти клас:

Нека точките [tex]H,M,N,Q[/tex] са петите на височините спуснати от точка [tex]O[/tex] съответно към страните [tex]AB,BC,CD,DA[/tex]

а)[tex]DO||BC \Rightarrow \triangle AED ; DO\cap AB=E[/tex] е равностранен.

[tex]EBCD[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow BE=CD=b \Rightarrow AE=ED=AD=AB-CD=a-b[/tex]

[tex]DF\bot BC ; F\in BC \Rightarrow OMFD[/tex] е правоъгълник [tex]\Rightarrow OM=DF ; FM=DO[/tex].

[tex]\triangle DFC[/tex] е правоъгълен с ъгъл [tex]30^\circ \Rightarrow CF=\frac{DC}{2}=\frac{b}{2}[/tex]

[tex]M\in S_{BC} \Rightarrow BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{a-b}{2} \Rightarrow MF=DO=CM+CF=\frac{a}{2}[/tex] , с което ще намерим съответно:

[tex]\triangle DQO \cong \triangle DNO \Rightarrow OQ=ON ; QD=DN[/tex] , като СЕЕТ

[tex]\triangle DQO[/tex] е правоъгълен с ъгъл [tex]30^\circ \Rightarrow DQ=\frac{DO}{2}=\frac{a}{4}[/tex]

[tex]\triangle OEH[/tex] е правоъгълен с ъгъл [tex]30^\circ ; OE=DE-DO=\frac{a}{2}-b \Rightarrow EH=\frac{OE}{2}=\frac{a-2b}{4}[/tex]

До тук материала е от 7-ми клас.Остана да приложим Питагорова теорема за [tex]\triangle DQO ; \triangle DFC ; \triangle OEH[/tex]

[tex]OQ=ON=\frac{DQ\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{8} ; OM=DF=\frac{FC\sqrt{3}}{2}=\frac{b\sqrt{3}}{4} ; OH= \frac{EH\sqrt{3}}{2}=\frac{(a-2b)\sqrt{3}}{8}[/tex]

б) [tex]S_{AOD}=\frac{AD.OQ}{2}=\frac{a(a-b)\sqrt{3}}{16}[/tex]

[S.B.]

Никъде не е указано,че т.$O$ е вътрешна точка за трапеца.Вие сте разгледали само случая когато [tex]b<\frac{a}{2}[/tex],а има още 2 случая - когато $b = \frac{a}{2}$ и $ b> \frac{a}{2}$

[math10.com]

Никъде не е указано,че т.$O$ е вътрешна точка за трапеца.Вие сте разгледали само случая когато [tex]b<\frac{a}{2}[/tex],а има още 2 случая - когато $b = \frac{a}{2}$ и $ b> \frac{a}{2}$

Това не е така.Задачата е еднозначно определена и няма нужда от допълнителни случаи ,тъй като решението и отговорите ще бъдат същите.Единственото нещо , което трябва да се добави е знака за модул при намиране на дължините на отсечките , за да не се окаже някоя от тях отрицателна.Различни случай се разглеждат в задачите , при които в условието имаме многозначност на фиксиран елемент.Да речем взаимно положение на точка и фигура.Тогава има значение дали точката е вътрешна , външна или лежи на контура на фигурата.В конкретната задача фигурата "равнобедрен трапец" е фиксирана , но точка [tex]O[/tex] е динамична.Положението и зависи от стойностите на параметрите [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] и не е необходимо да разглеждаме допълнителни случаи.

[S.B.]

Никъде не е указано,че т.$O$ е вътрешна точка за трапеца.Вие сте разгледали само случая когато [tex]b<\frac{a}{2}[/tex],а има още 2 случая - когато $b = \frac{a}{2}$ и $ b> \frac{a}{2}$

Това не е така.Задачата е еднозначно определена и няма нужда от допълнителни случаи ,тъй като решението и отговорите ще бъдат същите.Единственото нещо , което трябва да се добави е знака за модул при намиране на дължините на отсечките , за да не се окаже някоя от тях отрицателна.Различни случай се разглеждат в задачите , при които в условието имаме многозначност на фиксиран елемент.Да речем взаимно положение на точка и фигура.Тогава има значение дали точката е вътрешна , външна или лежи на контура на фигурата.В конкретната задача фигурата "равнобедрен трапец" е фиксирана , но точка [tex]O[/tex] е динамична.Положението и зависи от стойностите на параметрите [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] и не е необходимо да разглеждаме допълнителни случаи.

Това е така по принцип,но в едно уважаващо себе си решение би трябвало да присъства и съответното изследване.Благодаря,за оказаното внимание към задачата,която представих!

[KOPMOPAH]

Даден е равнобедрения трапец $ABCD$ с основи $ AB = a , CD = b , a > b$ и [tex]\angle DAB = 60^\circ[/tex].
Бисектрисата на $\angle \red{ADB}$ пресича симетралата...$

Колега math.10, Вие решавате за $\angle {ADC}$. Тогава задачата наистина е еднозначно определена, както посочвате.
Когато става дума за $\angle ADB$ наистина има три случая:

- точката да е вътрешна за трапеца;
- да лежи на голямата основа;
- да е външна за трапеца.

[math10.com]

trapec1.png (46.1 KiB) Прегледано 1015 пъти

Ще използвам намереното в предишния пост , като ще запазя старите означения.Точка [tex]O[/tex] от вярното условие при мен е [tex]O_1[/tex].

[tex]AD=BC= a-b; OD=\frac{a}{2} ; OQ=ON=\frac{a\sqrt{3}}{8} ; OM=\frac{b\sqrt{3}}{4} ; OH=\frac{(a-2b)\sqrt{3}}{8}[/tex]

Нека [tex]\angle ABD=\alpha \Rightarrow \angle O_1DB=\frac{1}{2}(120^\circ-\alpha) \Rightarrow \angle ODB=60^\circ-\alpha \Rightarrow \angle ODO_1=\frac{\alpha}{2}[/tex]

С Питагорова теорема намираме височината на трапеца [tex]h=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{2}[/tex]

Отново с Питагорова теорма или с Косинусова за [tex]\triangle BCD[/tex] намирам диагонала [tex]BD=\sqrt{a^2-ab+b^2}[/tex]

Сега малко тригонометрия [tex]sin \alpha = \frac{h}{BD}=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2-ab+b^2}} ; cos \alpha =\frac{\frac{a+b}{2}}{BD}=\frac{a+b}{2\sqrt{a^2-ab+b^2}}[/tex]

[tex]\Rightarrow tg \frac{\alpha}{2}=\frac{sin \alpha}{1+cos \alpha}=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{a+b+2\sqrt{a^2-ab+b^2}}[/tex]

[tex]OO_1=OD.tg \frac{\alpha}{2}=\frac{a(a-b)\sqrt{3}}{2(a+b+2\sqrt{a^2-ab+b^2})}[/tex]

Сега вече използвайки материала от 7-ми клас за правоъгълен триъгълник с ъгъл [tex]30^\circ[/tex] лесно се съобразява, че:

[tex]O_1M=OM+OO_1; O_1N_1=ON+\frac{OO_1}{2} ; O_1Q_1=OQ-\frac{OO_1}{2} ; O_1H_1=|OH-\frac{OO_1}{2}|[/tex]

б) [tex]S_{AO_1D}=\frac{AD.O_1Q_1}{2}[/tex]

Остава само да се замести.

Към # КОРМОРАН и към # S.B. не е нужно да се разглеждат случаи , а защо ще оставя сами да разберете.Вместо целия този спам можеше просто да се спомене факта , че написаното в предходния пост е решение на задача с друго условие.Задачата с оригиналното условие също така е еднозначно определена.

Към # S.B. За информация в българския език си има математическо понятие ъглополовяща.Уважавайте българския език.Руските сборници са много добри , но те не са удачни за кандидатстудентска подготовка , а са по-скоро за олимпиади.

Към # S.B.

Това е така по принцип,но в едно уважаващо себе си решение би трябвало да присъства и съответното изследване.Благодаря,за оказаното внимание към задачата,която представих!

Нека разгледаме този пост www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=55&t=25338 и след това да коментираме уважаващите себе си решения.....

Специални благодарности за отношението и начина на действие на # ЕВВА , тя знае защо.Поздравлния за това.


П.П. Очаквах отношенията в сайта през последните 2 години ,в който отсъствах да са се променили в положителна посока , но за съжаление не са....

[S.B.]

Уважаеми колега math10.com,
Не съм адвокат на колегата KOPMOPAH,така,че ще Ви отговоря само за себе си,а той ако пожелае ще Ви отговори лично на Вашите нападки.
Писали сте ми Л.С. и сте го изтрили преди още да мога да го прочета.Това говори за две неща:Или обезателно държите на публичност или не сте сигурен и сте се изплашили сам от това което сте искали лично да ми кажете. Вашето самочувствие и честолюбие е толкова високо,че Вие не понасяте никаква критика.Ако има някой,който да е виновен,че сте объркали условието на задачата,то това не съм аз.Чудите се по какъв начин да ме засегнете за Ваша грешка.Не така,колега!Истината се ражда в спора!И не намесвайте други колеги като уважаваната от всички нас колежка Евва.Вие я поздравлявате?За какво? За това,че беше достатъчно тактична и не отговори на сарказма Ви,че "не сте занели,че тя не знае Косинусова теорема"? Предлагам Ви да приемете,че в този форум участват най - различни хора,които са обединени единствено от математиката.Всички те имат своите достойнства и недостатъци.Не се дръжте така,сякаш Вие сте единствения знаещ и можещ.