Функция от тригонометрични функции

[S.B.]

Дадена е функцията:
[tex]f(x) = cos^{6}x + sin^{6}x - cos^{2}2x - \frac{1}{16}[/tex]
а) Да се реши уравнението $f(x) = 0$
б) Да се намерят $f'(\frac{\pi}{6}) $ и $f'(0)$

[Sup3rlum]

$f(x)=cos^6x+sin^6x-cos^2(2x)-\frac{1}{16}$

$f(x)=(cos^2x)^3+(sin^2x)^3-(cos^2x-sin^2x)^2-\frac{1}{16}$

$f(x)=(cos^2x+sin^2x)(cos^4x-cos^2xsin^2x+sin^4x)-(cos^4x-2cos^2xsin^2x+sin^4x)-\frac{1}{16}$

$f(x)=cos^2xsin^2x-\frac{1}{16}$

$f(x)=\frac{1}{4}sin^2(2x)-\frac{1}{16}$

$\frac{1}{4}sin^2(2x)-\frac{1}{16}=0$

$\frac{1}{4}sin^2(2x)=\frac{1}{16}$

$sin^2(2x)=\frac{1}{4}$

$sin(2x)=\pm\frac{1}{2}$

$x=\frac{6k\pi\pm1}{12}, k \in \Z$

$f'(x)=sin(2x)cos(2x)=\frac{1}{2}sin(4x)$

$f'(0)=0$
$f'(\pi/6)=\frac{1}{2}sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$