Пирамида

[Nathi123]

Основата на пирамида е квадрат.Двустенните ъгли, образувани от основата и околните стени се отнасят както 1:2:4:2.Да се намерят големините на тези двустенни ъгли.

[S.B.]

Основата на пирамида е квадрат.Двустенните ъгли, образувани от основата и околните стени се отнасят както 1:2:4:2.Да се намерят големините на тези двустенни ъгли.

Без заглавие - 2020-06-01T131544.589.png (294.46 KiB) Прегледано 660 пъти

Пирамидата е $ABCDM$
[tex]\angle LKM = \alpha , \angle KLM = 4\alpha ,\angle PQM = \angle QPM = 2\alpha[/tex]
$0 < 4\alpha <180^\circ ,0 < 2\alpha < 90^\circ , 0 < \alpha < 45^\circ$
От $\triangle HQM \rightarrow \frac{HQ}{HM} = cotg2\alpha \Leftrightarrow \frac{a}{2h} = cotg2\alpha \Rightarrow \frac{a}{h} = 2cotg2\alpha$
От $\triangle HLM \rightarrow \frac{HL}{HM} = cotg(180 - 4\alpha) \Leftrightarrow \frac{x}{h} = - cotg4\alpha$
От $\triangle HKM \rightarrow \frac{HK}{HM} = cotg\alpha \Leftrightarrow \frac{a +x}{h} = cotg\alpha \Leftrightarrow \frac{a}{h} + \frac{x}{h} = cotg\alpha$
От $\frac{a}{h} = 2cotg\alpha , \frac{x}{h} = - cotg4\alpha$ и $\frac{a}{h} + \frac{x}{h} = cotg\alpha \Rightarrow 2cotg2\alpha - cotg4\alpha = cotg\alpha$

$2cotg2\alpha - cotg4\alpha = cotg\alpha \Leftrightarrow cotg\alpha + cotg4\alpha = 2cotg2\alpha \Leftrightarrow $

$\frac{sin5\alpha}{sin\alpha.sin4\alpha} = \frac{2cos2\alpha}{sin2\alpha} \Leftrightarrow \frac{sin5\alpha}{sin4\alpha.sin\alpha} = \frac{2cos2\alpha}{2sin\alpha.cos\alpha} \Leftrightarrow$

$\frac{sin5\alpha}{sin4\alpha} = \frac{cos2\alpha}{cos\alpha} \Leftrightarrow$

$sin5\alpha.cos\alpha = 2sin2\alpha.cos^{2}2\alpha\Leftrightarrow sin5\alpha.cos\alpha = 4sin\alpha.cos\alpha.cos^{2}2\alpha \Leftrightarrow $

$sin5\alpha = 4sin\alpha.cos^{2}2\alpha \Leftrightarrow$

$ sin(\alpha + 4\alpha) = 4sin\alpha.cos^{2}2\alpha \Leftrightarrow$

$ sin\alpha.cos4\alpha + cos\alpha.sin4\alpha = 4sin\alpha.cos^{2}2\alpha \Leftrightarrow$

$sin\alpha.cos4\alpha + 4sin\alpha.cos^{2}\alpha.cos2\alpha = 4sin\alpha.cos^{2}2\alpha$

$cos4\alpha + 4cos^{2}\alpha.cos2\alpha = 4cos^{2}2\alpha$

$4cos^{2}\alpha.cos2\alpha = 4cos^{2}2\alpha - cos4\alpha$

$4(\frac{1 + cos2\alpha}{2}).cos2\alpha = 4(\frac{1 + cos4\alpha}{2}) - cos4\alpha \Leftrightarrow 2cos2\alpha + 2cos^{2}2\alpha = 2 + 2cos4\alpha - cos4\alpha$

$2cos2\alpha + 2cos^{2}2\alpha = 2 + cos4\alpha \Leftrightarrow 2cos2\alpha + 2(\frac{1 + cos4\alpha}{2}) = 2 + cos4\alpha$

$2cos2\alpha + 1 + cos4\alpha = 2 + cos4\alpha \Leftrightarrow $

$2cos2\alpha = 1 \Rightarrow cos2\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\alpha = 60^\circ$

$$\alpha = 30^\circ , 2\alpha = 60^\circ ,4\alpha = 120^\circ,2\alpha = 60^\circ$$

[KOPMOPAH]

Задачата е публикувана поне два пъти, например тук и тук. Интересни са дискусиите, съпровождащи предишните появявания на задачата

[S.B.]

Задачата е публикувана поне два пъти....

Много съжалявам,но аз не съм забелязала,че тази задача е решавана.И все пак,дори и да е така моето решение е единствено от всички представени решения,което е придружено и с чертеж и с пълното решение на тригонометричното уравнение.

Скрит текст: покажи

Съжалявам,но май умря циганката,която ме хвалеше...

[Nathi123]

Благодаря за решението на S.B. и обясненията ,че задачата е била коментирана на сайта.
Това ,че ъглите [tex]2\alpha[/tex] и [tex]\alpha[/tex] са в интервала [tex](0^\circ,90^\circ )[/tex] и [tex](0^\circ,45^\circ)[/tex] е ясно,но защо [tex]4\alpha > 90^\circ[/tex] ?

[S.B.]

Благодаря за решението на S.B. и обясненията ,че задачата е била коментирана на сайта.
Това ,че ъглите [tex]2\alpha[/tex] и [tex]\alpha[/tex] са в интервала [tex](0^\circ,90^\circ )[/tex] и [tex](0^\circ,45^\circ)[/tex] е ясно,но защо [tex]4\alpha > 90^\circ[/tex] ?

Без заглавие - 2020-06-02T073049.303.png (488.96 KiB) Прегледано 605 пъти

Първоначалният ми замисъл беше да разгледам 2 случая - [tex]4\alpha<90^\circ[/tex] и $4\alpha>90^\circ$,което се вижда от работния ми чертеж,който прилагам.Но получих едно и също уравнение.$$cotg4\alpha + cotg\alpha = 2cotg2\alpha$$Пирамидата начертах след като получих отговора на тригонометричното уравнение,а именно,че $$\alpha = 30^\circ \Rightarrow4\alpha = 120^\circ $$Всъщност считам за пропуск от моя страна факта,че не обясних достатъчно добре действията си,но сега го правя,макар и по-късно