Задача УАСГ

[veronica]

Още една задача, пускам снимка, защото трудно ще я напиша

Untitled-1.jpg (54.35 KiB) Прегледано 380 пъти

[martin123456]

a) Ще го докажем по индукция. [tex]n=1 \Rightarrow a_1=\frac{1}{2}=\sin{\frac{\pi}{6}}[/tex]. Допускаме че твърдението е вярно за [tex]n-1[/tex], т.е. [tex]\exist \alpha_{n-1}: a_{n-1}=\sin{\alpha_{n-1}}, \alpha_{n-1} \in (0, \frac{\pi}{2})[/tex]. Тогава използвайки рекурентната връзка: [tex]a_n=\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha_{n-1}}}{2}}=sin{\frac{\alpha_{n-1}}{2}}[/tex]. Забележка: разкрили сме корените така понеже [tex]\sqrt{1-\sin^2{\alpha_{n-1}}}=|\cos{\alpha_{n-1}}|=\cos{\alpha_{n-1}}[/tex] заади дадения ъгъл и за другия корен е аналогично.
За връзката на [tex]n[/tex] и [tex]\alpha_n[/tex]: [tex]a_1=\sin{\frac{\pi}{6}}[/tex], [tex]a_2=\sin{\frac{\pi}{6.2}}[/tex]. Ще док по индукция че [tex]\alpha_n=\frac{\pi}{6.2^{n-1}}=\frac{\pi}{3.2^n}[/tex]. За [tex]n=1[/tex] това е вярно. Допускаме че е вярно за [tex]n-1[/tex], т.е. [tex]\alpha_{n-1}=\frac{\pi}{3.2^{n-1}} \Rightarrow a_n=\sin{\frac{\alpha_{n-1}}{2}}=\sin{\frac{\pi}{3.2^n}}[/tex] => [tex]\sin{\alpha_n}=\sin{\frac{\pi}{3.2^n}} \Leftrightarrow 2\cos{\frac{\alpha_n+\frac{\pi}{3.2^n}}{2}}\sin{\frac{\alpha_n-\frac{\pi}{3.2^n}}{2}}=0[/tex]. Тъй като [tex]\frac{\alpha_n+\frac{\pi}{3.2^n}}{2} \in (\frac{\pi}{3.2^{n+1}}, \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3.2^{n+1}})[/tex] и [tex]\frac{\pi}{3.2^{n+1}}>0[/tex] и [tex]\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3.2^{n+1}} < \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}< \frac{\pi}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow \sin{\frac{\alpha_n-\frac{\pi}{3.2^n}}{2}}=0[/tex]. Отново [tex]\frac{\alpha_n-\frac{\pi}{3.2^n}}{2} \in (-\frac{\pi}{3.2^{n+1}}, \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3.2^{n+1}})[/tex]=>[tex]\alpha_n=\frac{\pi}{3.2^n}[/tex].
б) [tex]a_n=\sin{\frac{\pi}{3.2^n}}[/tex]. [tex]a_n-a_{n-1}=\sin{\frac{\pi}{3.2^n}}-\sin{\frac{\pi}{3.2^{n-1}}}=2\cos{(\frac{\pi}{3.2^{n+1}}+\frac{\pi}{3.2^n})}\sin{(\frac{\pi}{3.2^{n+1}}-\frac{\pi}{3.2^n})}[/tex]. Имаме [tex]\frac{\pi}{3.2^{n+1}}+\frac{\pi}{3.2^n} \in (0, \frac{\pi}{3.2^3}+\frac{\pi}{3.2^2})[/tex] и [tex]\frac{\pi}{3.2^{n+1}}-\frac{\pi}{3.2^n}=\frac{\pi}{3.2^n}(\frac{1}{2}-1)=-\frac{\pi}{3.2^{n+1}} \in (-\frac{\pi}{3.2^3},0)[/tex] [tex]\Rightarrow \{a_n\} \downarrow[/tex].
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}a_n2^n = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sin{\frac{\pi}{3.2^n}}.2^n}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\pi}{3}.\frac{\sin{\frac{\pi}{3.2^n}}}{\frac{\pi}{3.2^n}}=\frac{\pi}{3}[/tex].
в) [tex]\sum_{i=1}^{n}\alpha_i = \sum_{i=1}^{n}\frac{\pi}{3.2^i}=\frac{\pi}{3}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i} = \frac{\pi}{3}(1-\frac{1}{2^n}) < \frac{\pi}{3}[/tex]

[valkkata]

Ако някой се интересува миналата година брат ми си купи темите за право в СУ от човек, който знаеше какво ще се падне на изпита. Знаеше не само за СУ,но и за УАСГ,ТУ,ПУ и Медицината в София,Варнар,Плд и Плевен.Незнам дали е възможно,но брат ми сега учи право в СУ, по същия начин вече влезнаха няколко приятели.Незнам за тази година, ако някой се интересува,ето имейла му,но моля бъдете коректни: onq1234@abv.bg

[ganka simeonova]

Ако някой се интересува миналата година брат ми си купи темите за право в СУ от човек, който знаеше какво ще се падне на изпита. Знаеше не само за СУ,но и за УАСГ,ТУ,ПУ и Медицината в София,Варнар,Плд и Плевен.Незнам дали е възможно,но брат ми сега учи право в СУ, по същия начин вече влезнаха няколко приятели.Незнам за тази година, ако някой се интересува,ето имейла му,но моля бъдете коректни: onq1234@abv.bg

Къде е админа, да го банне този Идиот, с главно И