Уравнение с параметър - Тригонометрия

[Гост]

Стара задача за кандидатстване в СУ.
Как се решава?

[Knowledge Greedy]

Разглеждаме лявата страна като функция на [tex]t[/tex], където [tex]t\in [-1;1][/tex] и понеже сме положили [tex]cos\frac{x}{2}=t[/tex]

Наистина най-удобно е от [tex]sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}[/tex]

[tex]sin^2x=4sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}=4\left (1-cos^2\frac{x}{2} \right )cos^2\frac{x}{2}[/tex]

Така със споменатото полагане лявата страна [tex]L(t)=-8t^4+8t^2+6t[/tex], с дефиниционно множество [tex]t\in [-1;1][/tex]

[tex]L'(t)=-32t^3+16t+6[/tex]

[tex]L'(t)=0 \,\ \Rightarrow \,\ t_1=\frac{1}{2}[/tex] - със схемата на Хорнер.

Оставащият квадратен множител [tex]2(4t^2+2t-3)[/tex] дава още два корена [tex]t_{2,3}= \frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}[/tex], от които само [tex]t_2=\frac{\sqrt{13}-1}{4}[/tex] е в ДМ.

Изследването за стойностите на [tex]L(t)[/tex] дава

[tex]maxL(t)=L\left (\frac{\sqrt{13}-1}{4} \right )=\frac{13+11\sqrt{13}}{8}[/tex]
и
[tex]minL(t)=L(-1)=-6[/tex]

Сега поставяме дясната страна в рамките, които получихме за лявата, а именно

[tex]-6\le 5-3a \le \frac{13+11\sqrt{13}}{8}[/tex]

Решавайки последната система, получаваме [tex]\frac{27-11\sqrt{13}}{24}\le a \le \frac{11}{3}[/tex]

[Гост]

Сега поставяме дясната страна в рамките, които получихме за лявата, а именно

[tex]-6\le 5-3a \le \frac{13+11\sqrt{13}}{8}[/tex]

Според условието дясната страна е $5 - 2a$, а не $5 - 3a$

[S.B.]

Ето още един поглед върху задачата:
[tex]2sin^{2}x + 6cos\frac{x}{2} = 5 - 2a \Leftrightarrow 2(2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2})^{2} + 6cos\frac{x}{2} - 5 = -2a[/tex]
$8sin^{2}\frac{x}{2}cos^{2}\frac{x}{2} + 6cos\frac{x}{2} - 5 = -2a \Leftrightarrow 8(1 - cos^{2}\frac{x}{2})cos^{2}\frac{x}{2} + 6cos\frac{x}{2} - 5 = -2a$
$\displaystyle \frac{8cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2} - 8cos^{4}\displaystyle\frac{x}{2} + 6cos\displaystyle\frac{x}{2} - 5}{- 2} = a$
Нека $cos\frac{x}{2} = t$ , като $t\in [- 1 , 1]$ и изразявам $ a$ като функция на $t$:
$a(t) = 4t^{4} - 4t^{2} - 3t + \frac{5}{2}$ за $t\in [-1, 1]$
$a(-1) = \frac{11}{2} ; a(1) = -\frac{1}{2}$ , което показва,че в Д.М. на $t$ функцията е намаляваща
$a'(t) = 16t^{3} - 8t -3$
$a'(t) = 0 \Leftrightarrow 16t^{3} - 8t - 3 = 0 $ Единственият реален корен (според Волфрам) е $t=0,84902$ и за него съществува екстремум
$a''(t) = 48t^{2} -8$
$a''(0,84902) = 26,6 > 0 \Rightarrow$ за $t = 0,84902 \in [-1,1]$ функцията достига своя минимум и $a_{min } \approx - 0,85$

Без заглавие - 2020-06-20T173601.708.png (476.36 KiB) Прегледано 1740 пъти

Уравнението:
$2sin^{2}x + 6cos\frac{x}{2} = 5 - 2a$ има решение за $a\in [- 0,85 ; \frac{11}{2}]$