Параметрично уравнение

[S.B.]

Дадено е уравнението
$$3x^{2} - (6a + 1)x + a^{2} + 6a - 3 = 0 $$
където $a$ е реален параметър.
а) Да се докаже, че числото [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението.
б) Да с намерят стойностите на $a$,за които уравнението има реален корен $u$,такъв,че стойността на $|u - \sqrt{2}|$ е най-малка.

[peyo]

$3x^{2} - (6a + 1)x + a^{2} + 6a - 3 = 0 $
където $a$ е реален параметър.
а) Да се докаже, че числото [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението.
...

Просто да заместим и да идим какво ще се получи:

$3{\sqrt{2}}^{2} - (6a + 1){\sqrt{2}} + a^{2} + 6a - 3 = 0 $
$6 - \sqrt{2}6a - {\sqrt{2}} + a^{2} + 6a - 3 = 0 $
$ a^{2} + (6- 6\sqrt{2})a - {\sqrt{2}} + 3 = 0 $

Да решим квадратното уравнение (по мързеливия метод, тоест ще накараме компютъра да го реши):

Код: Избери целия код

In [242]: var("a")
Out[242]: a

In [243]: solve(a**2 + (6-6*sqrt(2))*a -sqrt(2)+3)
Out[243]:
[-3 + 3*sqrt(2) - sqrt(-17*sqrt(2) + 24),
 -3 + 3*sqrt(2) + sqrt(-17*sqrt(2) + 24)]

In [247]: complex(-3 + 3*sqrt(2) - sqrt(-17*sqrt(2) + 24))
Out[247]: (1.2426406871192852-0.20403568399330502j)

In [248]: complex(-3 + 3*sqrt(2) + sqrt(-17*sqrt(2) + 24))
Out[248]: (1.2426406871192852+0.20403568399330502j)

Получава се, че $а$ в този случай може да бъде 2 стойности като и двете са комплексми числа. Което противоречи на условието, че $а$ е реално число. Значи $sqrt(2)$ не може да е корен.

[S.B.]

Дадено е уравнението
$$3x^{2} - (6a + 1)x + a^{2} + 6a - 3 = 0 $$
където $a$ е реален параметър.
а) Да се докаже, че числото [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението.
б) Да с намерят стойностите на $a$,за които уравнението има реален корен $u$,такъв,че стойността на $|u - \sqrt{2}|$ е най-малка.

Преди всичко благодаря на колегата peyo за вниманието!Да,наистина по този начин ,след непосредствена проверка може да се докаже,че [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението,но изискването в подусловие а) да се намери $a$ за което уравнението има реален корен $u$,такъв,че стойността на $|u - \sqrt{2}|$ да бъде най- малка,се явява като своеобразен "жокер", който показва,че е необходимо да се намерят интервалите на множеството допустими стойности на $x$.За това,аз подхождам по малко по-нетрадиционен начин:
а)
$3x^{2} - (6a+ 1)x + a^{2} + 6a - 3 = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 6ax - x + a^{2} + 6a - 3 = 0 \Leftrightarrow$
$ a^{2} - 6(x - 1)a + 3x^{2} - x - 3 =0$
За да съществуват реални корени $a$ е необходимо $D \ge 0$:
$D = 36(x - 1)^{2} - 4(3x^{2} - x - 3) = 4(6x^{2} - 17x + 12)\ge 0$
$6x^{2} - 17x + 12 = 6(x - \frac{4}{3})(x - \frac{3}{2}) \ge 0$

Без заглавие - 2020-08-02T074521.957.png (147.57 KiB) Прегледано 819 пъти

$x\in (- \infty ; 1,33] \cup [1,5 ; +\infty) $
$\sqrt{2} \approx 1,41 \Rightarrow \sqrt{2}$ не е корен
б)
За $u$ имаме две възможности и това са краищата на интервалите - $1,33$ и $1,5$
$| 1,33 - 1,41| < |1,5 - 1,41| \Rightarrow u = \frac{4}{3}\approx1,33$
Замествам:
$a^{2} - 6(x - 1)a + 3x^{2} - x - 3 = 0 \Leftrightarrow a^{2} - 6(\frac{4}{3} - 1)a + 3(\frac{4}{3})^{2} - \frac{4}{3} - 3 =0 \Leftrightarrow a^{2}- 2a + 1 = 0$
Или $a = 1$

[KOPMOPAH]

Много добра задачка! Откъде е - състезание или...

[S.B.]

Много добра задачка! Откъде е - състезание или...

Конкурсен изпит 22.07.1999 г. СУ"Св.Климент Охридски", задача 3.

[peyo]

Дадено е уравнението
$$3x^{2} - (6a + 1)x + a^{2} + 6a - 3 = 0 $$
където $a$ е реален параметър.
а) Да се докаже, че числото [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението.
б) Да с намерят стойностите на $a$,за които уравнението има реален корен $u$,такъв,че стойността на $|u - \sqrt{2}|$ е най-малка.

Преди всичко благодаря на колегата peyo за вниманието!Да,наистина по този начин ,след непосредствена проверка може да се докаже,че [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението,но изискването в подусловие а) да се намери $a$ за което уравнението има реален корен $u$,такъв,че стойността на $|u - \sqrt{2}|$ да бъде най- малка,се явява като своеобразен "жокер", който показва,че е необходимо да се намерят интервалите на множеството допустими стойности на $x$.За това,аз подхождам по малко по-нетрадиционен начин:
...
Или $a = 1$

Аз пък си мислех как да решим задачата по най-традиционен начин, а именно тук се търси минимум, тогава директния подход казва да използваме производни. И ще ползваме Sympy и Python за всичко.

Дефинираме си началното уравнение:

In [417]: y = a**2 + 6*a + 3*x**2 - x*(6*a + 1) - 3

In [425]: Ux = solve(y, x); Ux
Out[425]: [a - sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)/6 + 1/6, a + sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)/6 + 1/6]

Имаме 2 решения.

In [418]: Fx = [ (u - sqrt(2))**2 for u in Ux]; Fx
Out[418]:
[(a - sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)/6 - sqrt(2) + 1/6)**2,
(a + sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)/6 - sqrt(2) + 1/6)**2]

Значи ще търсим минимума на горните 2 функции и ще вземем най-малката стойност. Тък съм заместил abs със квадрат, защото си мисля, че ако дадена функция $abs( f(x) )$ има екстремум в някое x , то $f(x)^2$ ще има екстремум в същото x. Това не съм го доказал и ако не е вярно, моля някой да ме поправи.

След това ще търсим първите производни:

In [419]: Dx = [ diff(f, a) for f in Fx]; Dx
Out[419]:
[(-(24*a - 30)/(3*sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)) + 2)*(a - sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)/6 - sqrt(2) + 1/6),
((24*a - 30)/(3*sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)) + 2)*(a + sqrt(24*a**2 - 60*a + 37)/6 - sqrt(2) + 1/6)]

След това ще намерим нулите на производните:

In [420]: Ax = [ solve( d1, a) for d1 in Dx]; Ax
Out[420]:
[[1,
3/2,
-3 + 3*sqrt(2) - sqrt(-17*sqrt(2) + 24),
-3 + 3*sqrt(2) + sqrt(-17*sqrt(2) + 24)],
[1,
3/2,
-3 + 3*sqrt(2) - sqrt(-17*sqrt(2) + 24),
-3 + 3*sqrt(2) + sqrt(-17*sqrt(2) + 24)]]

Чудесно, имаме да проверим 8 резултата (ше изхвърлим всички комплексни решения):

Код: Избери целия код

In [421]: Rx=[];
     ...: for f in Fx:
     ...:     for ax in Ax:
     ...:         for va in ax:
     ...:             try: Rx.append([va, float(f.subs(a, va))])
     ...:             except: pass
     ...:


In [422]: Rx
Out[422]:
[[1, 0.1715728752538099],
[3/2, 0.007359312880714853],
[1, 0.1715728752538099],
[3/2, 0.007359312880714853],
[1, 0.006541611449524315],
[3/2, 0.1756613824097626],
[1, 0.006541611449524315],
[3/2, 0.1756613824097626]]


Ок, резултата е в реда с най-малка втора стойност:

In [423]: min(Rx, key = lambda v: v[1])
Out[423]: [1, 0.006541611449524315]

Това ни казва, че отговора е при а=1.

Виждам малък проблем с пълнотата на това решение, но все пак получихме отговора.