УНСС - подготвителен кандидат-студентски курс

[S.B.]

Даден е трапец [tex]ABCD[/tex] с бедра $AD = 10$ и $BC = 16$.Ъгълът между диагоналите е прав,а между бедрата е равен на $60^\circ$
Да се намери лицето на трапеца.

Скрит текст: покажи

Без заглавие - 2020-08-03T221735.401.png (197.93 KiB) Прегледано 683 пъти

[Nathi123]

Построяваме СС'||AD;триъг ВСС' кос т-ма ,получаваме,че ВС'= 14 .[tex]S_{\triangle BCC'}=\frac{10.16.\sqrt{3}}{4}=40\sqrt{3}=\frac{h.14}{2}[/tex]
h-височината на триъг. ВСС' и трапеца ABCD.[tex]AC\bot BD\Rightarrow AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}=356;AB-CD=14[/tex]
[tex]\Rightarrow AB^{2}+CD^{2}=14^{2}+2AB.CD\Leftrightarrow 2AB.CD=160; AB^{2}+CD^{2}=(AB+CD)^{2}-2AB.CD=356\Leftrightarrow AB+CD=2\sqrt{129}[/tex]
[tex]h=\frac{40\sqrt{3}}{7}; S_{ABCD }=\frac{40.3\sqrt{43}}{7}=\frac{120\sqrt{43}}{7}[/tex].

[Евва]

(2 начин) Нека правите AD и BC се пресичат в точка М.
Да построим DP и CT -височини в трапеца ABCD.
Означаваме DP=CT=h ,AB=a ,CD=b и [tex]\angle[/tex]BAM=[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABM=120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
____________________________________________________
sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{DP}{AD}[/tex]=[tex]\frac{h}{10}[/tex] (1) и sin(120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{CT}{BC}[/tex]=[tex]\frac{h}{16}[/tex]

Тогава 10sin[tex]\alpha[/tex]=16sin(120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]) ...
4[tex]\sqrt{3}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]=sin[tex]\alpha[/tex] ;48[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=1-[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] намираме cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{7}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4\sqrt{3}}{7}[/tex]
От (1) получаваме [tex]\frac{4\sqrt{3}}{7}[/tex]=[tex]\frac{h}{10}[/tex] т.е. h=[tex]\frac{40\sqrt{3}}{7}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]APD) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AP}{AD}[/tex] ;AP=[tex]\frac{10}{7}[/tex] ([tex]\triangle[/tex]TBC) cos(120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{BT}{BC}[/tex] ... BT=[tex]\frac{88}{7}[/tex]
AB=AP+PT+TB
a=[tex]\frac{10}{7}[/tex]+b+[tex]\frac{88}{7}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a=14+b (2)
От AC[tex]\bot[/tex]BD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB^{2}[/tex]+[tex]CD^{2}[/tex]=[tex]BC^{2}[/tex]+[tex]AD^{2}[/tex] т.е. [tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]=356 (3)
Като решим системата от (2) и (3) уравнение ,получаваме b=[tex]\sqrt{129}[/tex]-7 ,a=7+[tex]\sqrt{129}[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex].h=[tex]\frac{7+\sqrt{129}+\sqrt{129}-7}{2}[/tex].[tex]\frac{40\sqrt{3}}{7}[/tex]=[tex]\frac{120\sqrt{43}}{7}[/tex]