Уравнения

[Крисоко]

Здравейте,
Имам нушда от наставления за следните уравнения.

2.jpg (169.26 KiB) Прегледано 789 пъти

viber_image_2020-11-03_10-32-20.jpg (236.21 KiB) Прегледано 789 пъти

[peyo]

Ще взема 18:

$x^3 +2x -5\sqrt 3 = 0$

Първо ще забележим, че това $\sqrt 3$ е много подозрително! Толкова е подозрително, че ще пробваме дали не е корен случайно:

${\sqrt 3}^3 +2\sqrt 3 -5\sqrt 3 = 3{\sqrt 3} +2\sqrt 3 -5\sqrt 3 = 0$

АХА! Както и подозирах, оказа се корен. И сега можем да делим многочлени или да ползваме Хорнер, но ако като мене не помните как се правеха тезои неща, ще напраим и решим една малка системка, който метод мисля се нарича метод на неопределените коефиценти:

$x^3 +2x -5\sqrt 3= (x-\sqrt 3)(x^2 +ax+b)$
$x^3 +2x -5\sqrt 3= x^3 +ax^2 + bx -\sqrt 3 x^2 -\sqrt 3 ax -\sqrt 3 b$
$x^3 +2x -5\sqrt 3= x^3 +(a-\sqrt 3)x^2 + (b -\sqrt 3 a)x -\sqrt 3 b$

Приравняваме коефицентите пред еднаквите степени:

[tex]\begin{array}{|l} 1=1 \\ 0 = a-\sqrt 3\\ 2 = b -\sqrt 3 a \\ -5\sqrt 3= -\sqrt 3 b \end{array}[/tex]

От 2-ро - 4-то определяме:

$a=\sqrt 3$
$b=5$

С 3-тото правим проверка и виждаме, че май смятаме правилно засега. И така:

$(x-\sqrt 3)(x^2 +\sqrt 3 x+5) = 0$

Остава да решим квадратното уравнение по директната формула и крайното решение на задачата е:

$x_1 = \sqrt 3$
$x_{2,3} = \frac{-\sqrt 3 \pm \sqrt{-17}}{2} = \frac{-\sqrt 3 \pm i\sqrt{17}}{2}$

Скрит текст: покажи

19-та задача е много, много, много подобна...

[peyo]

Зад 7:

$4(6x^2+3x+2)(x^2 + 3x +2) = 11x^4$

Ако отворим скобите ще решим уравнение от 4-та степен. Ок, няма проблем, да започваме.

Ха-ха-ха, няма да отваряме никакви скоби, уравненията от 4-та степен не са лесни. Ще направим нещо друго.

Ако x=0: $16 \ne 0$ , значи x не може да е 0. Тогава спокойно делим двете страни на $x^4$:

$4(6+\frac3x+\frac2{x^2})(1 + \frac3x+\frac2{x^2}) = 11$

Полагамe:

$t = 1 + \frac3x+\frac2{x^2}$

$4(5+t)t= 11$


$20t +4t^2 = 11$

$4t^2 + 20t -11=0$

$t_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 176}}{8}= \frac{-20 \pm 24}{8} = \{- \frac{11}{2} , \frac12\}$

И сега връшаме обратно t за да намерим x:

$- \frac{11}{2} = 1 + \frac3x+\frac2{x^2}$
$\frac{13}{2} + \frac3x+\frac2{x^2} = 0$
$\frac{13x^2}{2x^2} + \frac{6x}{2x^2}+\frac4{2x^2} = 0$
$13x^2 + 6x +4= 0$

Решаваме квадратното уравнение:

$ x_{1,2} = [ - \frac{3}{13} - \frac{\sqrt{43} i}{13}, \quad - \frac{3}{13} + \frac{\sqrt{43} i}{13}]$

По същия начин заместване второто t:

$\frac12 = 1 + \frac3x+\frac2{x^2}$

И преобразуваме подобно и решаваме квадратното уравнение и получаваме последните отговори:

$ x_{3,4} = [ -3 - \sqrt{5}, \quad -3 + \sqrt{5}] $

[peyo]

Зад. 2
Решена тук https://youtu.be/YrEa6BLMvxo

[peyo]

Зад. 14
Решена тук
https://youtu.be/eJ7dnB6SMeA

[peyo]

Зад. 11
Решена тук

https://youtu.be/RUrsZV5LVWU

Това е 3-тата задача която намирам на канала на Волков. Сигурно някой е голям фен.

[Гост]

Благодаря Ви много, само първото примерче супер много ме тормози.

[peyo]

10,

$x^4 -2x^3 +x - 132=0$

Предполагам, че можем да търсим кореинте като делители на 132, но това ще е дълго, затова вместо това ще направим един фокус.

$(x^2)^2 -2(x^2)x +x - 132=0$

$(x^2)^2 -2(x^2)x + x^2 -x^2 +x - 132=0$

$(x^2-x)^2 - (x^2 -x) - 132=0$

$x^2-x = u$

$u^2 - u - 132=0$

$u_1 = -11, u_2 = 12$

$x^2-x = -11$

$x^2-x +11 = 0$
Няма реални корени, а комплексните няма да ни интересуват тук.

$x^2-x = 12$

$x^2-x - 12 = 0$

$x_1 = -3, x_2 = 4$

С което задачата е решена.