УАСГ 2006

[radko]

untitled.JPG (64.71 KiB) Прегледано 384 пъти

Ако искате напишете цялото решение , но въпроса ми е свързан с това : Когато разглеждам следния случай x<0 кой от двата хикса излиза с минус отпред този в модула или свободния? Благодаря!

[martin123456]

а) [tex]2.3^{|x|}+3^x=5[/tex]
1. [tex]x \ge 0 \Rightarrow 3.3^x=5 \Rightarrow 3^{x+1}=5 \Rightarrow x+1 = \log_{3}{5}[/tex]. Проверка [tex]\log_{3}{5} \ge 1 \Leftrightarrow 5 \ge 3[/tex] => [tex]x= \log_{3}{5} - 1=\log_{3}{\frac{5}{3}}[/tex] е решение
2. [tex]x \le 0 \Rightarrow 2.3^{-x}+3^{x}=5[/tex]. Полагаме [tex]y=3^x \leq 1[/tex]. [tex]\Rightarrow \frac{2}{y}+y=5 \Rightarrow 2+y^2-5y=0 \Rightarrow y^2-5y+2=0[/tex]. [tex]D=25-8=17[/tex], [tex]y_1y_2 >0[/tex], [tex]y_1+y_2 > 0[/tex]=>2 положителни корена. [tex]1^2-5+2 < 0[/tex]=> 1 м/у корените => [tex]y=\frac{5 - \sqrt{17}}{2}[/tex]. [tex]\Rightarrow x=\log_{3}{\frac{5 - \sqrt{17}}{2}}[/tex].
b)
1. [tex]x \geq 0 \Rightarrow 3^{x}(a+1)=5[/tex]
1.1. [tex]a =-1 \Rightarrow \empty[/tex]
1.2. [tex]a \ne -1 \Rightarrow x= \log_{3}{\frac{5}{a+1}}[/tex]
2. [tex]x \leq 0 \Rightarrow a.3^{-x}+3^{x}=5[/tex]. Полагаме [tex]y=3^x \leq 1[/tex]. [tex]\Rightarrow \frac{a}{y}+y=5 \Rightarrow y^2-5y+a=0[/tex]. [tex]D=25-4a[/tex], [tex]y_1+y_2=5[/tex], [tex]y_1y_2=a[/tex]. Искаме да има поне един корен [tex]\le 1[/tex]. [tex]\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{5}{2}>1 \Rightarrow[/tex] можем да имаме най много 1 корен [tex]\le 1[/tex] условията са [tex]D > 0 \cap f(1) \leq 0 \Leftrightarrow a < \frac{25}{4} \cap a \le 4 \Rightarrow a\le 4[/tex]. В този случай [tex]3^x=y=\frac{5 -\sqrt{25-4a}}{2} \Rightarrow x = \log_{3}{\frac{5 -\sqrt{25-4a}}{2}}[/tex].
Окончателно: [tex]a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 4] \Rightarrow x_1= \log_{3}{\frac{5}{a+1}}, x_2=\log_{3}{\frac{5 -\sqrt{25-4a}}{2}}[/tex] ;
[tex]a = -1 \Rightarrow x_2=\log_{3}{\frac{5 -\sqrt{25-4a}}{2}}[/tex];
[tex]a \in (4, \infty) \Rightarrow x_1=\log_{3}{\frac{5}{a+1}}[/tex]
c) [tex]a.3^{|x|}=5-3^{x} \Rightarrow a=\frac{5-3^{x}}{3^{|x|}}=a(x)[/tex]
[tex]\Rightarrow \lim_{x \rightarrow -\infty}a(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{5-3^{x}}{3^{|x|}}}=\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{5-3^{x}}{3^{-x}}}=\frac{5}{+\infty}=0[/tex]

[radko]

Благодаря за подробното описание!