задача от Технически университет 2019

[nenam]

Търся помощ за решаването на Зад. 29 от изпита в Технически университет - 01.07. 2019 г.
Условието е:
Основата на пирамида е квадрат. Ъглите, образувани от околните стени с основата се отнасят както 1 : 2 : 4 : 2. Да се намери най-малкият двустенен ъгъл между тях.

[Гост]

Спусни височината. Сборът от котангенсите на срещуположните ъгли са равни. Така се получава тригонометрично уравнение. (това е за случая, в който върхът на пирамидата се проектира във вътрешна за квадрата точка) Задачата допуска случаи и те трябва да се изследват допълнително.

[Гост]

Спусни височината. Сборът от котангенсите на срещуположните ъгли са равни. Така се получава тригонометрично уравнение. (това е за случая, в който върхът на пирамидата се проектира във вътрешна за квадрата точка) Задачата допуска случаи и те трябва да се изследват допълнително.

Вярно и неясно.

[S.B.]

Търся помощ за решаването на Зад. 29 от изпита в Технически университет - 01.07. 2019 г.
Условието е:
Основата на пирамида е квадрат. Ъглите, образувани от околните стени с основата се отнасят както 1 : 2 : 4 : 2. Да се намери най-малкият двустенен ъгъл между тях.

Без заглавие - 2020-12-24T223858.466.png (382.51 KiB) Прегледано 1446 пъти

Построявам равнината $(MNQ) \bot (ABCD) ,M,N $ са среди на $AD$ и $BC$
$HQ\in (MNQ)$
Построявам равнина $(KTQ) \bot (ABCD) $,като $КТ \cap MN = H, KT \bot MN$
За краткост ще означа :
Страната на квадрата - $AB = MN = a$,
Височината на пирамидата - $ QH = h$ , $HN = x ,MH = a-x$,
[tex]\angle QMH = \alpha,\angle QNH = 4\alpha, \angle QKH = QTH = 2\alpha[/tex]
От $ \triangle HNQ \rightarrow \frac{HN}{QH} = cotg4\alpha \Leftrightarrow cotg4\alpha = \frac{x}{h}$ (1)
От $\triangle KHQ \rightarrow \frac{KH}{QH} = cotg2\alpha \Leftrightarrow cotg2\alpha = \frac{a}{2h} = \frac{1}{2}.\frac{a}{h} \Rightarrow 2cotg2\alpha = \frac{a}{h}$ (2)
От $\triangle MHQ \rightarrow \frac{MH}{QH} = cotg\alpha \Leftrightarrow cotg\alpha = \frac{a - x}{h} = \frac{a}{h} - \frac{x}{h}$
Като вземем предвид (1) и (2) получаваме:
$cotg\alpha = \frac{a}{h} - \frac{x}{h} \Leftrightarrow cotg\alpha = 2cotg2\alpha - cotg4\alpha$
Д.М. $ 0< 4\alpha < \pi \Rightarrow 0 < \alpha <\frac{\pi}{4}$
$cotg\alpha = 2cotg2\alpha - cotg4\alpha \Leftrightarrow cotg\alpha - cotg2\alpha = cotg2\alpha - cotg4\alpha \Leftrightarrow$

$\frac{sin(\alpha - 2\alpha)}{sin\alpha.sin2\alpha} = \frac{sin(2\alpha - 4\alpha)}{sin2\alpha.sin4\alpha} \Leftrightarrow - \frac{sin\alpha}{sin\alpha.sin2\alpha} = - \frac{sin2\alpha}{sin2\alpha.sin4\alpha} \Leftrightarrow$

$sin4\alpha = sin2\alpha \Leftrightarrow sin4\alpha - sin2\alpha = 0 \Leftrightarrow 2sin\frac{4\alpha - 2\alpha}{2}.cos\frac{4\alpha + 2\alpha}{2} = 0$
$sin\alpha.cos3\alpha = 0 , sin\alpha = 0 \cup cos3\alpha = 0$
$sin\alpha = 0 ,\alpha\notin$Д.М. , $cos3\alpha = 0 ,\alpha = \frac{\pi}{6} \in$ Д.М.
$\alpha = 30^\circ,2\alpha = 60^\circ , 4\alpha = 120^\circ$
Оказва се,че пирамидата изглежда така:

Без заглавие - 2020-12-24T232608.345.png (331.6 KiB) Прегледано 1446 пъти

[Гост]

Търся помощ за решаването на Зад. 29 от изпита в Технически университет - 01.07. 2019 г.

Вие сте посетили сайта и вероятно сте прочели вече решението.
Елементарното възпитание изисква след като сте получили тази помощ и то на Коледа поне да благодарите за отделеното време.