Обем на пирамида

[Гост]

Задачата е от кандидатстудентски изпит

Основата на пирамида е квадрат. Две от околните страни са перпендикулярни на основата, а другите две страни сключват с нея ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако радиусът на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.

[S.B.]

Задачата е от кандидатстудентски изпит

Основата на пирамида е квадрат. Две от околните страни са перпендикулярни на основата, а другите две страни сключват с нея ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако радиусът на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.

Без заглавие - 2021-01-05T082818.940.png (355.35 KiB) Прегледано 666 пъти

$AD$ е проекция на $AM$ в равнината $ABCD$
[tex]AD \bot AB \Rightarrow AM \bot AD[/tex] (според теоремата за 3-те перпендикуляра)
$\rightarrow \triangle ABM$ е правоъгълен с хипотенуза $BM = 2R$
Нека страната на $ABCD$ е $a$ , околен ръб $AM = l$ , височина $DM = h$

От $\triangle ADM \rightarrow \frac{AD}{AM} = cos\alpha \Leftrightarrow a = l.cos\alpha , \frac{MD}{MA} = sin\alpha \Leftrightarrow h = l.sin\alpha$

От $\triangle ABM \rightarrow BM^{2} = AM^{2} + AB^{2} \Leftrightarrow 4R^{2} = l^{2} + a^{2} \Leftrightarrow 4R^{2} = l^{2} + l^{2}cos^{2}\alpha\Rightarrow$

$4R^{2} = l^{2}(1 + cos^{2}\alpha )\Rightarrow l = \frac{2R}{\sqrt{1 + cos^{2}\alpha}}$
Получавам :
От $a = l.cos\alpha \rightarrow a = \frac{2R.cos\alpha}{\sqrt{1 + cos^{2}\alpha}}$

От $h = l.sin\alpha \rightarrow h = \frac{2R.sin\alpha}{\sqrt{1 + cos^{2}\alpha}}$

$V = \frac{1}{3} a^{2}.h \Leftrightarrow V = \frac{1}{3} .\frac{4R^{2}cos^{2}\alpha}{1 + cos^{2}\alpha}.\frac{2R.sin\alpha}{\sqrt{1 + cos^{2}\alpha}}$ $$ V = \frac{4R^{3}sin2\alpha.cos\alpha}{3(1 + cos^{2}\alpha)\sqrt{1 + cos^{2}\alpha}} $$

[Гост]

Благодаря много! Прекрасни сте!

[S.B.]

$AD$ е проекция на $AM$ в равнината $ABCD$
[tex]AD \bot AB \Rightarrow AM \bot AD[/tex] (според теоремата за 3-те перпендикуляра)

Да се чете :[tex]AD\bot AB \Rightarrow AM\bot AB[/tex]
Съжалявам