задачка УАСГ

[mrchilly]

Допирателната в точката С към описаната около триъгълника АВС окръжност пресича правата АВ в точката О, като A е между О и В. Нека разстоянията от точките А и В до правата ОС са съответно m и n и ъгъл AOC = ?, като О < ? < 90°.
а) (2 точки) Докажете, че ОС= корен(mn)/sinf
б) (3 точки) Докажете, че радиусът R на описаната около триъгълника АВС окръжност е равен на R=(m+n-2*koren(mn)/cosf)/2*sin`2 (f)
в) (2 точки) Ако n = 4m намерете този ъгъл ?, за който отношението R/m е най-малко.
Някой ако може да постне решения поне на едно от подусловията че доникъде не стигам с тази задача дори и а) немога да реша
Мерси предварително

[martin123456]

първо някои бележки за разположението на точките (то няма да ни трябва но все пак)
1. кога допирателната в [tex]C[/tex] ще пресече правата [tex]AB[/tex] в точка О, че [tex]A \in \overline {OB}[/tex] - когато [tex]AC<CB \Leftrightarrow \alpha > \beta[/tex].
2. къде е [tex]A_1[/tex], където [tex]AA_1 \bot OC[/tex] - разглеждаме [tex]\Delta OCA[/tex]: [tex]\angle COA = \varphi <90^\circ[/tex], [tex]\angle OCA = \frac{\stackrel{\frown}{AC}}{2}=\angle CBA=\beta[/tex] като периферен и вписан ъгъл. ако допуснем че [tex]\beta \ge 90^\circ[/tex] от 1. [tex]\Rightarrow \alpha > 90^\circ \Rightarrow \empty \Rightarrow AA_1 \in \overline {OC}[/tex].
3. къде е [tex]B_1[/tex], където [tex]BB_1 \bot OC[/tex]. мястото зависи от това тъп или остър е [tex]\angle OCB[/tex]. ако допуснем че [tex]\angle OCB \le 90^\circ \Rightarrow 90^\circ \ge \angle OCA + \angle ACB = \gamma +\beta = 180^\circ - \alpha \Rightarrow \alpha \ge 90^\circ[/tex], за което не виждам противоречие. за другия случай пак не виждам противоречие. значи [tex]B_1[/tex] може да е м/у [tex]O,C[/tex] при неостър [tex]\angle A[/tex], а иначе е след [tex]O,C[/tex].

сега към задачата
а) [tex]OC[/tex] допирателна [tex]\Rightarrow OC^2=OA.OB[/tex]. [tex]\Delta OAA_1[/tex]: [tex]OA=\frac{m}{\sin{\varphi}}[/tex], [tex]\Delta OBB_1:[/tex] [tex]OB=\frac{n}{\sin{\varphi}}[/tex] [tex]\Rightarrow OC=\frac{\sqrt{mn}}{|sin{\varphi|}}=\frac{\sqrt{mn}}{\sin{\varphi}}[/tex]
b) [tex]R=\frac{AC}{2\sin{\beta}}[/tex]. кос т-ма за [tex]\Delta OCA[/tex]: [tex]AC^2=\frac{mn+m^2-2m\sqrt{mn}\cos{\varphi}}{\sin^2{\varphi}}[/tex]. пак от синусова т-ма за този [tex]\Delta \Rightarrow \frac{\sin{\beta}}{\sin{\varphi}}=\frac{OA}{AC} \Rightarrow \frac{AC}{2\sin{\beta}}=\frac{n+m-2\sqrt{mn}\cos{\varphi}}{2\sin^2{\varphi}}[/tex].
c) [tex]\frac{R}{m}=\frac{5-4\cos{\varphi}}{2\sin^2{\varphi}} = f(\varphi)[/tex]. като положим [tex]\cos{\varphi}=x \Rightarrow f(x)=\frac{5-4x}{2-2x^2}[/tex]. търсим и НМС в [tex](0,1)[/tex]. производната се анулира за [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] и [tex]x_2=2[/tex] и расте в [tex]x \in (\frac{1}{2},2)[/tex]. значи НМС е в [tex]x=\frac{1}{2}[/tex], т.е. [tex]\cos{\varphi}=\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ[/tex].

[mrchilly]

Благодяря за подробното решение
наистина съм бил близо със подусловие а) , но не го знаех това свойство на допирателната