от martin123456 » 06 Юли 2010, 17:46
тъй като [tex]\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x} \Rightarrow 1-\sin{2x}=\sin^2{x}+\cos^2{x}-\sin{2x}=(\sin{x}-\cos{x})^2[/tex][tex]\Rightarrow \sin{2x}=1-(\sin{x}-\cos{x})^2[/tex]. полагаме [tex]t=\sin{x}-\cos{x}[/tex]. да забележим още тук, че [tex]t.\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin{(x-\frac{\pi}{4})}[/tex] и тъй като търсим решение в [tex][\frac{\pi}{2}, \pi][/tex], то [tex]x-\frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}][/tex] [tex]\Rightarrow t.\frac{\sqrt{2}}{2} \in [\frac{\sqrt{2}}{2},1] \Rightarrow t \in [1, \sqrt{2}][/tex].
уравнението става [tex]1-t^2-2\sqrt{2}t+1-4a=0 \Leftrightarrow t^2+2\sqrt{2}t+4a-2=0[/tex] и търсим стойностите на [tex]a[/tex], за които то има решение [tex]t \in [1, \sqrt{2}][/tex]. [tex]D=8-4(4a-2)=8(1-2a+1)=8(2-2a)=16(1-a)[/tex]. ако [tex]D=0 \Rightarrow a=1 \Rightarrow x_1=x_2=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2} \not \in [1, \sqrt{2}][/tex]. ако [tex]D<0[/tex] въобще нямаме реални корени. ако [tex]D>0 \Leftrightarrow a<1[/tex]: сумата от корените e [tex]-\sqrt{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] поне едният е отрицателен. ако и двата са нямам решение в искания интервал. значи искаме един положителн и един отрицателен. сега вече е ясно че трябва да е изпълнено [tex]f(1)\le 0 \cap f(\sqrt{2})\ge 0 \Leftrightarrow a \le \frac{1-\2\sqrt{2}}{4}\cap a\ge -1[/tex]. като засечем с [tex]D \Rightarrow a \in [-1,1)[/tex].
Меню
