Задача от УАСГ

[Do0M]

Здравейте,бих искал да попитам ако някой може да ми помогне със тази примерна задача за УАСГ
х|x+2y|+1-y=0
б) Да се намерят всички стойности на параметъра y, за които уравнението има точно 2 решения

Мерси предварително

[Martin Nikovski]

[tex]x|x+2y|+1-y=0[/tex]
[tex]x(x+2y)+1-y=0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]x[-(x+2y)]+1-y=0[/tex]
[tex]x^2+2xy+1-y=0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]-x^2-2xy+1-y=0[/tex]
За първото уравнение: [tex]x^2+2xy+1-y=0[/tex]
[tex]D_1=y^2-(1-y)=y^2-1+y=y^2+y-1[/tex]
[tex]x_{1,2}=-y\pm \sqrt{y^2+y-1}[/tex]
За второто уравнение: [tex]-x^2-2xy+1-y=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^2+2xy+y-1=0[/tex]
[tex]D_2=y^2-(y-1)=y^2-y+1[/tex]
[tex]x_{3,4}=-y\pm \sqrt{y^2-y+1}[/tex]
Тъй като изразът [tex]y^2-y+1[/tex] приема положителни стойности за всяко [tex]y\in R[/tex], то решенията [tex]x_3[/tex] и [tex]x_4[/tex] винаги съществуват. Следователно, за да има уравнението точно две решения, решенията [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] или не трябва да съществуват, или трябва да са равни на [tex]x_3[/tex] и [tex]x_4[/tex].
І. Ако решенията [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] не съществуват, то [tex]D_1<0[/tex]
[tex]y^2+y-1<0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y\in \left(\frac{-1-\sqrt{5} }{2 };\frac{-1+\sqrt{5} }{2 }\right)[/tex]
ІІ. Друг вариант (за точно две решения на уравнението) е [tex]D_1=D_2=D[/tex].
[tex]D_1=D_2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cancel{y^2}+y-1=\cancel{y^2}-y+1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2y=2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y=1[/tex].
В този случай [tex]x_1=x_3=-y+\sqrt{D}[/tex] и [tex]x_2=x_4=-y-\sqrt{D}[/tex]

Окончателно: уравнението има точно две решения, когато:
[tex]y\in \left(\frac{-1-\sqrt{5} }{2 };\frac{-1+\sqrt{5} }{2 }\right)\cup \left{1\right}[/tex]

[Do0M]

Много благодаря. Искам само да попитам тъй като за да разкрием модулите получаваме ограничения за х =>
х>-2у и х<-2у не трябва ли да проверим дали корените на тези уравнения принадлежат на този случай защото има варианти в които да не принадлежат и може да се получат различни комбинации от корени. Например едното да има 2 корена но само единият да е > -2 у и второто да има 2 но само едниният да е <-2у

[Martin Nikovski]

Да, така е. Пропуснал съм го в решението си.

[Den]

Няма ли начин да решим задачата като включим и тази проверка, която се оказва, че е доста важна!

[martin123456]

може и така - упътване
[tex]x \ge -2y \Rightarrow x^2+2xy+1-y=0 \Rightarrow y=\frac{x^2+1}{1-2x}[/tex]
[tex]x \le -2y \Rightarrow -x^2-2xy+1-y=0 \Rightarrow y=\frac{-x^2+1}{2x+1}[/tex]
начертай графиките