Неравенство

[Гост]

Намерете стойностите на [tex]y\in R[/tex],така,че за всяко $x$ да е изпълнено неравенството:
$x^{2}(2 - log_{2 }\frac{y}{y + 1}) + 2x(1 + log_{2 }\frac{y}{y + 1}) - 2(1 + log_{2 }\frac{y}{y + 1}) > 0$

Скрит текст: покажи

отг. $y \in (0,1)$

[Nathi123]

Нека t= [tex]log_{2 }\frac{y}{y+1}\Rightarrow x^{2}(2-t) +2x ( 1+t) -2(1+t)>0\Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2-t>0 \\ D_{x } <0\end{array}[/tex]
[tex]D_{x}=-t^{2}+4t+5<0\Leftrightarrow t\in (-\infty ,-1)\cup (5,\infty )[/tex] и t<2 [tex]\Leftrightarrow t\in (-\infty ,-1)[/tex] ; t - съществува ,ако [tex]\frac{y}{y+1}>0[/tex]
( от определението за лог. функция)
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} log_{2} \frac{y}{y+1}<-1\\ y\in (-\infty,-1)\cup(0,\infty) \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{array}{|l} \frac{y}{y+1}<\frac{1}{2}\\ y\in (-\infty,-1)\cup(0,\infty) \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} y\in (-1,1)\\ y\in (-\infty,-1)\cup(0,\infty) \end{array}\Leftrightarrow y\in (0,1).[/tex]