задача от примерна тема УАСГ 2004

[PowerN]

Моля за помощ относно задача от примерна тема. Търсих в стария форум, но не открих някой да я решавал.

Задача 2. В триъгълник с лице S е вписан правоъгълник с лице Т (върховете на правоъгълника лежат на страните на триъгълника, като най-голямата страна на триъгълника съдържа страна на правоъгълника)
а) Да се пресметнат дължините на страните на триъгълника, ако най-голямата е равна на с, а височината към нея - на h и [tex]T=k^{2}S[/tex] (k>0).
б) Да се намери най-голямата стойност на отношението Т:S

Ще бъда благодарен на всякакъв съвет относно решаването й.

[martin123456]

щом [tex]AB[/tex] е най голямата страна значи ъглите при [tex]A,B[/tex] са остри и значи петата на височината от [tex]C[/tex] лежи на страната [tex]AB[/tex]. това значи че височината пресича правоъгълника. нека той е [tex]MNPQ[/tex] като обикаляме страните в ред [tex]AB,BC,CA[/tex].
b)
нека [tex]QC=xs[/tex], [tex]AQ=s[/tex].
[tex]\Delta AMQ \sim \Delta AHC \Rightarrow QM=\frac{h}{x+1}[/tex]
[tex]\Delta QPC \sim \Delta ABC \Rightarrow QP=\frac{xc}{x+1}[/tex]
[tex]\Rightarrow T=\frac{xhc}{(x+1)^2}=k^2.\frac{hc}{2} \Rightarrow \frac{T}{S}=k^2=\frac{2x}{(x+1)^2} \le \frac{1}{2}[/tex]. равенство се достига когато [tex]P,Q[/tex] са среди на съответните страни.

[PowerN]

Благодаря много!!!
Явно съм преуморен след като не мога да се сетя за толкова очевидни неща.

[martin123456]

ми трудна е а) не знам как кратко да подходя