И господ казал "Нека ги измъчваме с радикали".

[Skygear]

[tex]\sqrt{2x^2 + 3x +5} - \sqrt{2x^2 -2x +5} = x[/tex] Всъщност не е толкова мъчителен, но лично съм в мъчително мъчение.

[Davids]

Мъчително мъченическо мъчение! Но схемата е стандартна
Малко интуитивна подсказка да ти дам: принципно, като имаш два радикала, все още можеш да прилагаш близо универсален алгоритъм, който винаги ще те доведе до краен резултат, и той е нещо като:
- разпределяш си радикалите така, че да имаш по един от всяка страна на равното;
- вдигаш на втора (*); след което ще ти остане един радикал само;
- изолираш радикала от една страна на равното (хубаво е да е от тази, от която има положителен знак) (*); а от другата страна в по-човешките задачи (каквато е и тази), ще ти остане нещо линейно. Ако е от по-висока степен, пак можеш да решаваш, ама това най-често е индикатор, че идеята на задачата е била друга
- вдигаш отново на втора степен и задачата вече се свежда до търсене на корени на полином.

* Важна бележка: на местата, на които съм сложил (*), най-често е хитро да си правиш междинни рестрикции за допустимите стойности (това, на което приравняваш радикала, трябва да има съответния знак), но често отговорите няма да са ти твърде много и ще можеш да си направиш проверка накрая директно.

Нека видим на практика стъпките:
$\sqrt{2x^2+3x+5} = x + \sqrt{2x^2-2x+5} ~~~|^2$
$\cancel{2x^2}+3x+\cancel{5} = x^2 -2x\sqrt{2x^2-2x+5} + \cancel{2x^2}-2x+\cancel{5}$
$x(5-x) = 2x\sqrt{2x^2-2x+5}$

И тук се усещаме, че $x = 0$ ни е първото очевидно решение. Супер, значи сега правим уговорката, че $x\ne 0$ и делим смело на $x$, получавайки:
$5-x = 2\sqrt{2x^2-2x+5}~~~|^2$
$x^2-10x+25 = 4(2x^2-2x+5)$
$7x^2 + 2x - 5 = 0$
$\Rightarrow x_1 = -1,\, x_2 = \frac{5}{7}$

Правим една бърза проверка и установяваме, че и двете са решения. Значи окончателно решения са ни $x\in\left\{-1, 0, \frac{5}{7}\right\}$

П.П. Тук единствено проверката за $x = \frac{5}{7}$ може да се стори малко по-тегава, затова може би си струваше където е релевантно да си проследим какви ограничения трябва да имаме за $x$, за да е валидно решение. Аз лично съм фен на този подход, но съм забелязал, че затруднява много ученици и по-скоро предпочитат да правят проверки. Решението как ще го правиш си остава твое.

[Skygear]

Мъчително мъченическо мъчение! Но схемата е стандартна
Малко интуитивна подсказка да ти дам: принципно, като имаш два радикала, все още можеш да прилагаш близо универсален алгоритъм, който винаги ще те доведе до краен резултат, и той е нещо като:
- разпределяш си радикалите така, че да имаш по един от всяка страна на равното;
- вдигаш на втора (*); след което ще ти остане един радикал само;
- изолираш радикала от една страна на равното (хубаво е да е от тази, от която има положителен знак) (*); а от другата страна в по-човешките задачи (каквато е и тази), ще ти остане нещо линейно. Ако е от по-висока степен, пак можеш да решаваш, ама това най-често е индикатор, че идеята на задачата е била друга
- вдигаш отново на втора степен и задачата вече се свежда до търсене на корени на полином.

* Важна бележка: на местата, на които съм сложил (*), най-често е хитро да си правиш междинни рестрикции за допустимите стойности (това, на което приравняваш радикала, трябва да има съответния знак), но често отговорите няма да са ти твърде много и ще можеш да си направиш проверка накрая директно.

Нека видим на практика стъпките:
$\sqrt{2x^2+3x+5} = x + \sqrt{2x^2-2x+5} ~~~|^2$
$\cancel{2x^2}+3x+\cancel{5} = x^2 -2x\sqrt{2x^2-2x+5} + \cancel{2x^2}-2x+\cancel{5}$
$x(5-x) = 2x\sqrt{2x^2-2x+5}$

И тук се усещаме, че $x = 0$ ни е първото очевидно решение. Супер, значи сега правим уговорката, че $x\ne 0$ и делим смело на $x$, получавайки:
$5-x = 2\sqrt{2x^2-2x+5}~~~|^2$
$x^2-10x+25 = 4(2x^2-2x+5)$
$7x^2 + 2x - 5 = 0$
$\Rightarrow x_1 = -1,\, x_2 = \frac{5}{7}$

Правим една бърза проверка и установяваме, че и двете са решения. Значи окончателно решения са ни $x\in\left\{-1, 0, \frac{5}{7}\right\}$

П.П. Тук единствено проверката за $x = \frac{5}{7}$ може да се стори малко по-тегава, затова може би си струваше където е релевантно да си проследим какви ограничения трябва да имаме за $x$, за да е валидно решение. Аз лично съм фен на този подход, но съм забелязал, че затруднява много ученици и по-скоро предпочитат да правят проверки. Решението как ще го правиш си остава твое.

И даже вчера решавах задача със същия метод . Днеска почнах "Я да бъдем тъпи и директно да вдигаме на квадрат" , след това като не ми проработи пробвах "Я да умножим по [tex]\sqrt{2x^2 + 3x +5} + \sqrt{2x^2 - 2x +5}[/tex]" И така не стана. Реших да проверя решението ... и то па каза да направя същото ... ама останалите думички много не ги схванах, май трябва да се снабдя с тълковен речник. И след т'ва в тиквата пусто ...

[Евва]

Ако ти хрумне да положиш [tex]\sqrt{2x^{2}+3x+5}[/tex]=а и [tex]\sqrt{2x^{2}-2x+5}[/tex]=b ,то
уравнението се превръща в система:

[tex]\begin{array}{|l} a-b=x\\a^{2}-b^{2} = 5x \\ 2a^{2}+3b^{2} = 10x^{2}+25 \end{array}[/tex]

Отговор: 0; -1; [tex]\frac{5}{7}[/tex]

[Skygear]

Благодаря!