Лесно доказателство или носител на депресивна мания?

[Skygear]

Дължините BC = a, CA = b и AB = c на страните на триъгълника ABC образуват в този ред аритметична прогресия. Да се докаже, че [tex]\beta \leq 60 \deg[/tex], където [tex]\measuredangle ABC = \beta[/tex]

[Добромир Глухаров]

Последователни членове на аритметична прогресия $\Rightarrow a+c=2b$

Косинусова теорема $cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+c^2-\left(\frac{a+c}{2}\right)^2}{2ac}=\\=\frac{4a^2+4c^2-a^2-c^2-2ac}{8ac}=\frac{3a^2+3c^2-2ac}{8ac}=\\=\frac{3(a^2+c^2-2ac)+4ac}{8ac}=\frac{3(a-c)^2}{8ac}+\frac{1}{2}\geq\frac{1}{2}$

$cos\beta\geq\frac{1}{2}\Rightarrow\beta\leq60^\circ$

[Skygear]

Благодаря!