Триъгълна пирамида

[S.B.]

За триъгълната пирамида $ABCM$ е известно,че четири от ръбовете ѝ имат дължина 1 и ръбът $CM$ е перпендикулярен на равнината $ABC$.
Да се пресметнат:
а) обемът и лицето на пълната повърхнина на пирамидата;
б) разстоянието от т.$C$ до центъра на окръжността,описана около [tex]\triangle ABM[/tex];
в) тангенсът на ъгъла между равнините $ABM$ и $BCM$.

[skadevil]

Има ли отговори, да знам дали въобще съм на прав път, защото получавам за а):
[tex]V= \frac{\sqrt{3}}{12}[/tex]
[tex]S {1 } = \frac{1}{4}(4+ \sqrt{7}+ \sqrt{3})[/tex]

[S.B.]

Има ли отговори, да знам дали въобще съм на прав път, защото получавам за а):
[tex]V= \frac{\sqrt{3}}{12}[/tex]
[tex]S {1 } = \frac{1}{4}(4+ \sqrt{7}+ \sqrt{3})[/tex]

Да,това са отговорите на а).По-интересно е отг. б) и в),а също така точки носи и доказателството на това кои ръбове могат да бъдат с дължина 1

[skadevil]

Супер! Ето ми го решението за а) (съжалявам, че е на снимка, но иначе до утре ще трябва да го пиша пък искам да пробвам и за др. подточки и имам малко работа ) Страните, които са 1 са MC,BC,BA,AC, като така се получава основа, която е равстранен [tex]\triangle[/tex]. Причината това да са ръбовете, които са 1 е, че ако сложим MB и MA 1, то остават още два ръба, които трябва да са 1, но ако те са основните ръбове, то не е възможно да има такава пирамида(напр. [tex]\triangle BCM[/tex] няма как да е правоъгълен и катетът и хипотенузата му да са равни).

[skadevil]

За б) това получавам Не знам дали е вярно, но начинът май е т. О е ц-р на окръжността. За в) ще ми трябва малко помощ.

[S.B.]

За б) това получавам Не знам дали е вярно, но начинът май е т. О е ц-р на окръжността. За в) ще ми трябва малко помощ.

Отг.б) [tex]CO = \sqrt{ \frac{3}{7} }[/tex]
Отг в) [tex]tg \varphi = \sqrt{6}[/tex]

[skadevil]

Хмм... ще трябва да помисля още явно

[Гост]

За доказателството на кои ръбове за равни на 1 може да се използва твърдението, че в правоъгълен триъгълник хипотенузата е по-голяма от катетите.

За в) - може да се построи през AC равнина, перпендикулярна на BM.

[skadevil]

за б) съм сбъркал формулата за лице и съм си мислил за вписаната окръжност, а то е казано описаната [tex]S= \frac{abc}{4R}[/tex] и би трябвало да илязат сметките...

[skadevil]

За в) ще може ли малко насоки, ако някой знае нещо, че не успях да я реша

[S.B.]

За в) ще може ли малко насоки, ако някой знае нещо, че не успях да я реша

Без заглавие - 2021-04-16T140932.174.png (338.78 KiB) Прегледано 562 пъти

Много си нетърпелив!Исках още известно време да не публикувам решението и да бъда толерантна към колегите от форума.
Но ето моето решение:
а)
Само 4 от ръбовете могат да бъдат 1.Допускам,че $AM = 1$ ,но тогава $MC < 1 ,AC < 1$ което следва от правоъгълния [tex]\triangle CAM[/tex].Остава,че $BM = BC = AB = MC = 1$ но от правоъгълния [tex]\triangle CBM[/tex] не може $BM = CM = 1\Rightarrow BM\ne 1$
Или със сигурност [tex]AM \ne 1 ,BM \ne 1[/tex] Остава,че $AB = BC = CA = CM = 1$
[tex]S_{ABC } = \frac{ \sqrt{3} }{4} ,CM= 1 \Rightarrow V = \frac{ S_{ABC }.CM }{3} \Leftrightarrow V = \frac{ \sqrt{3} }{12}[/tex]
[tex]S_{CAM } = S_{CBM } = \frac{1}{2}[/tex]
За [tex]\triangle ABM \rightarrow AB= 1 , AM = BM = \sqrt{2} \Rightarrow S_{ABM } = \frac{ \sqrt{7} }{4}[/tex]
[tex]S_{1 } = \frac{ \sqrt{7} }{4} + 1 + \frac{ \sqrt{3} }{4} = \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{7} }{4}[/tex]

б)

Нека т.$O$ е ортогоналната проекция на т.$C$ върху равнината $(ABM)$
[tex]\triangle COM \cong \triangle COA \cong \triangle COB[/tex] по катет и хипотенуза:
$CO$ е общ катет , $CA = CB = CM = 1$
[tex]\Rightarrow OA = OB = OC[/tex] или точките $A,B$ и $C$ са равноотдалечени от т.$O$,което означава,че принадлежат на окръжност с център т.$O$, която е описаната около [tex]\triangle ABM[/tex] окръжност;
[tex]CO \bot (ABM)[/tex] защото т.$O$ е ортогонална проекция на т.$C$ по построение;
Тогава [tex]V_{ABCM } = \frac{1}{3}. S_{ABM } .CO \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{3} }{12} = \frac{1}{3} \frac{ \sqrt{7} }{4} .CO \Rightarrow CO = \sqrt{ \frac{3}{7} }[/tex]

в)
т.$O$ е център на описаната около [tex]\triangle ABM[/tex]окръжност, и е пресечна точка на симетралите на страните.
[tex]S_{BM } \cap BM = N,ON \bot BM[/tex] , а $NC$ е медиана и височина в [tex]\triangle CBM \Rightarrow CN \bot BM,CN = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]\angle ONC = \varphi[/tex] е линейният ъгъл на двустенният ъгъл [tex]\angle (BCM),(ABM)[/tex]
[tex]\triangle OCN[/tex] е правоъгълен,защото [tex]OC \bot ABM \Rightarrow OC \bot ON[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{OC}{CN} = sin \varphi \Leftrightarrow \displaystyle \frac{ \sqrt{\displaystyle \frac{3}{7} } }{\displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{2} } = sin \varphi \Rightarrow sin \varphi = \displaystyle \frac{ \sqrt{42} }{7} ,cos \varphi = \displaystyle \frac{ \sqrt{7} }{7}[/tex]
$$tg \varphi = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{ \sqrt{42} }{7} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{7} }{7} } = \sqrt{6}$$

[skadevil]

Благодаря . Иии... да нетърпелив съм, защото като не мога да реша в) и си мисля за нея и се дразня