Меню
Условие: Нека Т е точка от страна AB на триъгълника ABC. Да се намерят дължините на страните AC и BC, ако AT=2, BT=4, CT=5, и окръжностите вписани в триъгълниците ACT и BCT се допират по между си.
Чертеж:
- Чертеж на задачата
- tg1.png (8.11 KiB) Прегледано 450 пъти
Решение (моето): В триъгълник ABC имаме само една дадена страна (AT+BT=6), но в триъгълници ACT и BCT имаме две дадени страни. Забелязваме, че ъгъла [tex]\angle BCT =180^\circ - \angle ATC[/tex] => можем да ги изразим в една формула.
По косинусова теорема [tex]AC^{2} = CT^{2} + AT^{2} - 2*CT*AT*cos\angle ACT[/tex] и [tex]BC^{2} = CT^2 + BT^{2}+2*CT*BT*cos\angle ACT[/tex] => Като съберем тази система, уравнението не съдържа [tex]cos\angle ACT[/tex], който е неизвестен за нас и получаваме уравнението с две неизвестни [tex]AC^{2} + 2*BC^{2} = 99[/tex]. Моето решение стигна до тук.
След като прегледах решението, което е дадено, а то беше:
Нека точка M е допирната на двете окръжности с CT. Да означим p1 и p2 полупериметрите съответно на [tex]\Delta ACT[/tex] и [tex]\Delta BCT[/tex]. Имаме, че [tex]TM = p1-AC = p2-BC[/tex] => [tex]a-b=p1-p2[/tex]. От друга страна, [tex]p1-p2 = \frac{(AC+AT+TC)-(BC+BT+TC)}{2} = \frac{1}{2}*(AC+2-BC-4) = \frac{1}{2}*(AC-BC)+1[/tex]. Тогава [tex]\frac{1}{2}*(a-b)+1=a-b[/tex] или [tex]a-b=2[/tex]
(нататък решението съвпада с моето, но от a-b=2 вече можем да намерим решенията на системата)
Въпросът ми е откъде как се намира това [tex]TM = p1-AC = p2-BC[/tex]. Прегледах всички формули за триъгълник, които съм изучавал, които ги има в учебниците, в справочника, дори в интернет. Не ми хрумна нищо за преобразувание на формула, която да доведе до намирането на TM.
П.П. Отговорът е AC=5, BC=7.
