Равенство с 2 нейзвестни и подарък израз?

[Skygear]

"Реалните числа x и y удовлетворяват равенството [tex]2x^2 - 4xy + 6y^2 = 9[/tex] . Да се намерят възможно най-малката и най-голямата стойност на израза 2x - y." Дайте някакви идей.

[peyo]

"Реалните числа x и y удовлетворяват равенството [tex]2x^2 - 4xy + 6y^2 = 9[/tex] . Да се намерят възможно най-малката и най-голямата стойност на израза 2x - y." Дайте някакви идей.

Колко интересна задача!

Да пробваме да представим равенството като функция на 2x - y = u и коато сложим u от едната страна да видим кога приема най-голяма и най-малка стойност.

Първо да вдигнем на квадрат и да видим дали не ни напомня на нещо:
$(2x - y)^2 = 4 x^{2} - 4 x y + y^{2}$

Напомня ни да:
[tex]2x^2 - 4xy + 6y^2 = 9[/tex]

[tex]4x^2 - 4xy + y^2 - 2x^2 + 5y^2= 9[/tex]

[tex]u^2 + 5y^2 - 2x^2= 9[/tex]

[tex]u = \pm \sqrt { 9 - 5y^2 + 2x^2}[/tex]

И така като гледаме това очевидно y трябва да е 0, a x колкото толкова защото 5 > 2.

И така :
$2x^2 - 4x*0 + 6*0y^2 = 9$
$2x^2 = 9$
$x=\sqrt{9/2}$

[tex]u = \pm \sqrt { 9 - 5*0^2 + 2*9/2}[/tex]
$u = \pm \sqrt {18} = \pm 3\sqrt 2$

С което задачата ми се струва решена и да се надяваме дори вярно.

[Nathi123]

х и у трябва да са реални числа [tex]\Rightarrow 2 x^{2} -4xy+6 y^{2}-9=0[/tex] e изпълнено,ако [tex]D _{x } \ge0 \Leftrightarrow 18-8 y^{2} \ge 0 \Leftrightarrow y \in[-3,3][/tex]
Аналогично [tex]\Rightarrow 6 y^{2} -4xy+2 x^{2}-9=0 \Leftrightarrow D _{y}=54-8 x^{2} \ge0 \Leftrightarrow x \in[- \frac{3}{2} , \frac{3}{2} ]\Rightarrow[/tex]
[tex]-\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}[/tex] и [tex]-3 \le y \le3 |.(-1) \Leftrightarrow 3 \ge -y \ge -3 \Rightarrow -6 \le 2x-y \le 6[/tex].

[peyo]

И така като гледаме това очевидно y трябва да е 0, a x колкото толкова защото 5 > 2.

Това не само не е очевидно, но не е и вярно. Решението на Nathi123 също има грешкa.

Затова сега ще решим задачата по съвсем друг начин.

Това е уравнение на елипса:
[tex]2x^2 - 4xy + 6y^2 = 9[/tex]

Да помислим малко какво означава "Да се намерят възможно най-малката и най-голямата стойност на израза 2x - y" в точките на нашата елипса? Това означава, че за всяка точка от елипсата (x,y) ние правим съответствие към друга фигура, на която друга фигура търсим максимума по y. А съответствието е следното:
$x \rightarrow x$
$y \rightarrow 2x - y$

Ок, да видим как изглежда другата фигура:

$2x^2 - 4x(2x - y) + 6(2x - y)^2 = 9$

$18 x^{2} - 20 x y + 6 y^{2} = 9$

Или пак получихме елипса, което не е изненадващо.

Сега на тази елипса остава на намерим максималното и минималното y. За тази цел ще намерим производната по x , ще решим спрямо x, ще върнем в уравнението и ще решим квадратното уравнение за y на което двата корена ще бъдат мин и макс. Да видим:

$\frac{d(18 x^{2} - 20 x y + 6 y^{2}-9)}{dx} = 36 x - 20 y$

$36 x - 20 y = 0$
$x = 5y/9$

$18 (5y/9)^{2} - 20 (5y/9) y + 6 y^{2} = 9$

$\frac{4 y^{2}}{9} = 9$

$y_{1,2} = \pm \frac{9}{2}$

Което и ни дава отговора на задачата, а именно $-4.5 \le 2x - y \le 4.5$

[pal702004]

Полагаме $2x-y=z$, получаваме уравнението

$18x^2-20zx+6z^2-9=0$, решаваме относно $x$

$x_{1,2}=\dfrac{10z\pm \sqrt{162-8z^2}}{18}$

Откъдето ограниченията на $z$ изплуваха във вид на дискриминанта, $z \in \left [-\frac 9 2 ; \frac 9 2 \right]$

$\max(z)=\frac 9 2$ при $x=\frac 5 2, y=\frac 1 2$

и съответно

$\min(z)=-\frac 9 2$ при $x=-\frac 5 2, y=-\frac 1 2$

[Skygear]

Благодаря!