Две задачки за хора без пачки

[Skygear]

1) Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които системата [tex]y = (x-a)^2 ; x = (y-a)^2[/tex] има единствено решение.

2) Нека p и q са цели числа, такива че уравнението [tex]x^2 + px + q = 0[/tex] има реални корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex]. Да се докаже, че ако числата [tex]1, x_1, x_2[/tex] образуват геометрична прогресия, то q е трета степен на цяло число.

[Гост]

1) Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които системата [tex]y = (x-a)^2 ; x = (y-a)^2[/tex] има единствено решение.

2) Нека p и q са цели числа, такива че уравнението [tex]x^2 + px + q = 0[/tex] има реални корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex]. Да се докаже, че ако числата [tex]1, x_1, x_2[/tex] образуват геометрична прогресия, то q е трета степен на цяло число.

Правилно сте се ориентирали - тук получаваш помощ без да заплащаш - т.е. "без пачки".Вие не веднъж сте се обръщали за помощ и винаги сте я получавали "без пачки".Измисляте всевъзможни заглавия на темите,но никога не написахте думи като "Моля" и "Благодаря"!
Вашето поведение демонстрира неуважение към труда на хората,които Ви помагат,а те Ви помагат съвсем безкористно,като отделят от личното си време.Но защо ли Ви пиша всичко това?Вие едвали бихте разбрали за какво става дума...

[Skygear]

1) Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които системата [tex]y = (x-a)^2 ; x = (y-a)^2[/tex] има единствено решение.

2) Нека p и q са цели числа, такива че уравнението [tex]x^2 + px + q = 0[/tex] има реални корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex]. Да се докаже, че ако числата [tex]1, x_1, x_2[/tex] образуват геометрична прогресия, то q е трета степен на цяло число.

Правилно сте се ориентирали - тук получаваш помощ без да заплащаш - т.е. "без пачки".Вие не веднъж сте се обръщали за помощ и винаги сте я получавали "без пачки".Измисляте всевъзможни заглавия на темите,но никога не написахте думи като "Моля" и "Благодаря"!
Вашето поведение демонстрира неуважение към труда на хората,които Ви помагат,а те Ви помагат съвсем безкористно,като отделят от личното си време.Но защо ли Ви пиша всичко това?Вие едвали бихте разбрали за какво става дума...

Благодаря!

[Skygear]

1) Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които системата [tex]y = (x-a)^2 ; x = (y-a)^2[/tex] има единствено решение.

2) Нека p и q са цели числа, такива че уравнението [tex]x^2 + px + q = 0[/tex] има реални корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex]. Да се докаже, че ако числата [tex]1, x_1, x_2[/tex] образуват геометрична прогресия, то q е трета степен на цяло число.

Правилно сте се ориентирали - тук получаваш помощ без да заплащаш - т.е. "без пачки".Вие не веднъж сте се обръщали за помощ и винаги сте я получавали "без пачки".Измисляте всевъзможни заглавия на темите,но никога не написахте думи като "Моля" и "Благодаря"!
Вашето поведение демонстрира неуважение към труда на хората,които Ви помагат,а те Ви помагат съвсем безкористно,като отделят от личното си време.Но защо ли Ви пиша всичко това?Вие едвали бихте разбрали за какво става дума...

Господине/Госпожо, може ли да ми проверите постовете и да кажете дали съм покрил нормативът, и ако не, точно какви са изискванията?

[Skygear]

Впрочем, на втора се намери решение, после може да го драсна ако някой има желание, като се наспя. То пък се оказа тривиално ... ама като се сетиш как става .

[ptj]

1.) Разгледай само случая [tex]x=y[/tex].
Пполучаваш квадратно уравнение, което има само едно решение единствено при нулева дискриминанта.
Отговор: [tex]а= \frac{1}{4}[/tex]

[S.B.]

1) Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които системата [tex]y = (x-a)^2 ; x = (y-a)^2[/tex] има единствено решение.

[tex]\begin{array}{|l} y = (x - a)^{2} \\ x = (y - a)^{2} \end{array}[/tex] Изваждаш от първото второто уравнение и получаваш:

[tex]y - x = (x - a)^{2} - (y - a)^{2} \Leftrightarrow (y - x) = (x - a + y - a)(x - a - y + a) \Leftrightarrow (y - x)= (x + y - 2a)(x - y)[/tex]
[tex](y - x) = ( x + y - 2a)(x - y) \Leftrightarrow (x + y - 2a)(x - y) - (y - x) = 0 \Leftrightarrow (x - y)( x + y - 2a +1) = 0[/tex]
[tex](x - y)(x + y - 2a + 1) = 0 \Leftrightarrow (x - y ) = 0 \cup (x + y - 2a + 1) = 0[/tex]

Образуваш две системи:

[tex]\begin{array}{|l} x - y = 0 \\ y = (x - a)^{2} \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x + y - 2a + 1 = 0 \\ y = (x - a)^{2} \end{array}[/tex]

1.)
[tex]\begin{array}{|l} x - y = 0 \\ y = (x - a)^{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = y \\ y = (x - a)^{2} \end{array}[/tex]След заместване получаваш:

[tex]x = (x - a)^{2} \Leftrightarrow x^{2} - (2a + 1)x + a^{2} = 0, D = 0 \Rightarrow 4a + 1 = 0 \Rightarrow a = - \frac{1}{4} , x = y = \frac{1}{4}[/tex]

2.)
[tex]\begin{array}{|l} x + y - 2a + 1 = 0 \\ y = (x - a)^{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = 2a - 1 - x \\ y = (x - a)^{2} \end{array}[/tex] След заместване получаваш:

[tex]2a - 1 - x = (x - a)^{2} \Leftrightarrow x^{2} - (2a - 1)x + (a - 1)^{2} = 0 , D = 0 \Leftrightarrow 4a-3 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{4}, x = y = \frac{1}{4}[/tex]
$$ a = - \frac{1}{4} , a = \frac{3}{4} \rightarrow (x = \frac{1}{4} ; y = \frac{1}{4}) $$

[S.B.]

1.) Разгледай само случая [tex]x=y[/tex].
Пполучаваш квадратно уравнение, което има само едно решение единствено при нулева дискриминанта.
Отговор: [tex]а= \frac{1}{4}[/tex]

Отговорите,които получавам са [tex]a = - \frac{1}{4} , a = \frac{3}{4}[/tex]
Представила съм и подробно решение

[pal702004]

За втора задача: След като образуват геом. прогресия, значи корените са $(a,a^2)$ за някое реално $a$ (м/у другото не задължително да е реално).
И $q=a^3$
Остана да докажемм че $a$ е цяло. Има различни начини, но по Виет

$-p=a^2+a$
$1-p=a^2+a+1$
$(1-p)(a-1)=a^3-1=q-1$

Тук имаме интересен случай $p=q=1$, където корените, макар и комплексни, удовлетворяват условието на задачата. Но дори и в този случай $q=1$ е куб на цяло число.

Иначе $a=\dfrac{q-1}{1-p}+1=\dfrac{q-p}{1-p}$ е рационално, следователно цяло, следователно $q$ е куб на цяло число.