Прогноза: Лек анализ с параметър.

[Skygear]

"Дадено е уравнението [tex]x^3 + nx - 3n = 0[/tex], където параметърът n е цяло положително число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен и да се намерят всички стойности на n, за които този корен е цяло число."

Първата част е сравнително лесна, отначало пробвах с т. на Рол, след това някой ми го доказа по някакъв друг начин и спомена "Болцано" обаче като съм заспал ... И преди малко пробвах без да привиквам силата на никакви теореми и сякаш пак излезе, и то доста просто. Така де, втората част е малко по-притеснителна. С метод на Нютон за търсене на корени се намира, обаче малко не съм напълно сигурен, а й щом е за кандидатстудентски изпит, не би трябвало да е задължителен този метод .

[peyo]

"Дадено е уравнението [tex]x^3 + nx - 3n = 0[/tex], където параметърът n е цяло положително число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен и да се намерят всички стойности на n, за които този корен е цяло число."

Да потърсим единствения реален корен по метода на неопределените коефиценти:

$\left(x - x_{1}\right) \left(x^{2} + b x + c\right) = x^{3} + b x^{2} - x^{2} x_{1} - b x x_{1} + c x - c x_{1} =x^3 + nx - 3n$

Първото уравнение на системата (при приравняване на коефициентите пред еднаквите степени):
$b - x_{1} = 0$
Ни дава неочаквано улеснение:
$b = x_{1} $

Второто и третото уравнение са (направо заместваме b с $x_1$:
$c - x_{1}^2 = n$
$ c x_{1} = 3n $

Сега това последното уравнение ни казва, че $c$ е положително. Това е защото ако погледнем първоначалното уравнение, ще видим , че реален корен $x$ може да е само положителен, иначе цялата лява страна ще стане по-малка от 0.

Дискриминантата е:
$D = \sqrt{x_1^2 - 4c}$

От системата имаме:
$ x_{1}^2 -c = -n$

$D = \sqrt{x_1^2 -c - 3c} = \sqrt{-n - 3c}$

Тъй като вече знаем, че $c$ e положително, то тази дискриминанта и съответно квадратното уравнения няма реални решения, с което доказахме, че уравнението има единствен реален корен.

да се намерят всички стойности на n, за които този корен е цяло число."

За тази цел,ще решим кубичното уравнение:

[tex]x^3 + nx - 3n = 0[/tex]

Ok, нищо подобно няма да правим разбира се. Това и само оставаше, да тръгнем да решаваме кубични уравнения като ненормални. Вместо това ще разделим всичко на $x$:

$ x^2 = \frac{3n}{x} -n$

И ще намерим отговора само с разсъждаване. $ \frac{3n}{x}$ трябва да е цяло число. Това значи n да се дели на x или x да е 3. Но x не може да е 3, защото от дясно ще стане 0, значи остава n да се дели на 3. Но също x не може да е по-голямо от 3, защото от дясно ще стане отрицателно, a отляво е положително. Значи n може да е само 1 или 2. Ако x=1 то става 1=2n, което няма такова цяло n. Остава само x=2 и тогава:

$ 2^2 = \frac{3n}{2} -n$
$ 4 = \frac{n}{2}$
Или:
$n=8, x=2$
E единственото решение.

[Skygear]

Много секси решение, 10/10.

[pal702004]

Ако полинома има рационален/лни корен/и то той трябва да е цял (съгласно теоремата за рационалните корени на полином с цели коефициенти). Или, трябва да съществува цяло $x$ такова, че

$n=\dfrac{x^3}{3-x}$ да е естествено. Но $\dfrac{x^3}{3-x}>0$ само при $x \in (0;3)$ така че решение може да е само $x=2$

Можеше втората част на задачата да я направят съвсем малко по-интересна без ограничението за ествествено $n$, а цяло (различно от 0). Тогава вариантите са няколко

$\dfrac{x^3}{3-x}=\dfrac{x^3-27+27}{3-x}\;\Rightarrow (3-x) \mid 27$, или $3-x \in \pm \{27,9,3,1\})$

Но така или иначе няма начин и трите корена да са цели (с изкл. $n=0$)

[grav]

Производната на функцията [tex]f(x)=x^3+nx-3n[/tex] е [tex]f'(x)=3x^2+n>0[/tex]. Следователно функцията е разстяща и може да има само един реален корен. Още [tex]f(1)=1-2n<0[/tex] и [tex]f(3)=27>0[/tex] следователно корена е в интевала [tex](1,3)[/tex]. От тук [tex]x=2[/tex], и [tex]2^3+2n-3n=0[/tex].